변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 14번

CLP-2 · 2.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

$y=y(x)$ 라 하자. 미분방정식 $y'=xe^y$ 의 일반해를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $y=y(x)$ . Find the general solution of the differential equation $y'=xe^y$ .

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=xe^y\\ \frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=x\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=\int x\,\mathrm{d}x\\ -e^{-y}&=\frac{1}{2} x^2+C\\ e^{-y}&=-\frac{1}{2} x^2-C \\ \text{$C$ 는 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있으므로 $-C$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수가 될 수 있다. 따라서 $-C$ 대신 $C$ 로 쓴다.} \\ e^{-y}&=C-\frac{1}{2} x^2 \\-y&=\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \\y&=-\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \end{aligned}$

여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

해는 $C-\frac{x^2}{2}>0$ 일 때에만 존재한다. 이를 만족시키려면 $C>0$ 이어야 하고, 이때 이 함수의 정의역은 $|x|<\sqrt{2C}$ 를 만족시키는 $x$ 의 값들이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=xe^y\\ \frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=x\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{e^y}&=\int x\,\mathrm{d}x\\ -e^{-y}&=\frac{1}{2} x^2+C\\ e^{-y}&=-\frac{1}{2} x^2-C \\ \text{Since $C$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, then also $-C$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, so we write $C$ instead of $-C$.} \\ e^{-y}&=C-\frac{1}{2} x^2 \\-y&=\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \\y&=-\log\left(C-\frac{x^2}{2}\right) \end{aligned}$

for any constant $C$ .

The solution only exists for $C-\frac{x^2}{2}>0$ . For this to happen, we need $C>0$ , and then the domain of the function is those values $x$ for which $|x|<\sqrt{2C}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 6번우리말 번역

다음 문장(이 문장은 로잔대학교 약동학 웹사이트의 “소거 동역학”을 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=94 에서 의역한 것이다. 모르핀의 반감기는 같은 웹사이트의 https://sepia.unil.ch/pharmacology/index.php?id=85 에 나와 있다. 2017년 8월 12일에 접속함.)을 미분방정식으로 나타내세요. 방정식을 풀 필요는 없습니다.

혈류 속 모르핀 총량의 약 0.3 퍼센트가 매분 소거된다.

다 풀었으면 정답 확인

$Q(t)$ 를 시각 $t$ 에서 환자의 혈류 속 모르핀의 양이라 하자. 여기서 $t$ 는 분 단위로 잰다.

도함수의 정의에 의하여 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\lim_{h \to 0}\frac{Q(t+h)-Q(t)}{h}\approx \frac{Q(t+1)-Q(t)}{1}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 는 $t$ 부터 $t+1$ 까지 1분 동안 모르핀 양의 변화량과 거의 같다.

문장에 의하면 1분 동안 모르핀 양의 변화량은 약 $-0.003Q$ 이다. 여기서 $Q$ 는 혈류 속 모르핀의 양이다. 즉 $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-0.003Q(t)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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