변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 10번

CLP-2 · 2.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

변수분리형 초깃값 문제의 해를 구하세요:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{2x}{e^y}, &y(0) &= \log 2 \end{aligned}$

해를 $y = y(x)$ 꼴로 명시적으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the solution to the separable initial value problem:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{2x}{e^y}, &y(0) &= \log 2 \end{aligned}$

Express your solution explicitly as $y = y(x)$ .

정답·풀이 보기

정리하면 다음과 같다:

$\begin{aligned} e^y\,\mathrm{d}y &= 2x\,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면: } \\ \int e^y\,\mathrm{d}y &= \int 2x\,\mathrm{d}x\\ e^y &= x^2+C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=\log2$ 이므로} \\ e^{\log 2} &= 0^2+C \\ 2 &= C, \\ \text{따라서} \\ e^{y} &= x^2+2 \\ y &= \log(x^2+2) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Rearranging, we have:

$\begin{aligned} e^y\,\mathrm{d}y &= 2x\,\mathrm{d}x. \\ \text{ Integrating both sides: } \\ \int e^y\,\mathrm{d}y &= \int 2x\,\mathrm{d}x\\ e^y &= x^2+C \\ \text{Since $y=\log2$ when $x=0$, we have} \\ e^{\log 2} &= 0^2+C \\ 2 &= C, \\ \text{and therefore} \\ e^{y} &= x^2+2 \\ y &= \log(x^2+2) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 5번우리말 번역

함수 $y=f(x)$ 가 어떤 상수 $C>0$ 에 대해 $|y| = Cx$ 를 만족시킨다고 하자.

(a) 주어진 정보로 볼 때, $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 무엇인지 구하세요. (b) 다음 성질을 모두 갖는 함수 $y=f(x)$ 의 예를 들거나, 그런 함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$|y| = Cx$ ,
모든 $x>0$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하고,
어떤 $x$ 에서는 $y>0$ 이고, 다른 $x$ 에서는 $y<0$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $y$ 가 어떤 값이든 $|y| \geq 0$ 이므로, $f(x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $Cx \ge 0$ 이다. $C$ 가 양수이므로 $f(x)$ 의 정의역에는 음이 아닌 수만 포함된다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역이 될 수 있는 가장 큰 범위는 $[0,\infty)$ 이다. (b) 존재하지 않는다.

아래 그림은 어떤 양의 상수 $C$ 에 대한 $Cx$ 의 그래프와 $-Cx$ 의 그래프이다. $y=f(x)$ 가 어떤 곳에서는 위쪽 함수이고 다른 곳에서는 아래쪽 함수라면, 그것이 바뀌는 곳에서 점프 불연속이 생긴다. 그러면 $f(x)$ 의 도함수가 존재하지 않게 되어 두 번째 성질에 어긋난다.

사소한 기술적 참고로, $x=0$ 에서 $f(x)=Cx$ 이고 $x>0$ 에서 $f(x)=-Cx$ 인 경우(또는 그 반대)가 가능하다. 이 경우에는 점프 불연속이 생기지 않지만, 어떤 $x$ 에서 $f(x)>0$ 이라는 조건은 만족시키지 못한다.

참고: 아래의 여러 경우에서, 미분방정식을 풀면 $|y|=g(x)$ 와 같은 결론에 이르게 된다. 이럴 때 우리는 $y=g(x)$ 또는 $y=-g(x)$ 중 하나를 택하며, $y=\pm g(x)$ (이것은 함수가 아니다)나 $y$ 가 어떤 곳에서는 $g(x)$ 이고 다른 곳에서는 $-g(x)$ 라고 택하지는 않는다. 위의 추론이 이 선택을 어느 정도 설명해 준다. $y$ 가 어떤 곳에서는 양수이고 다른 곳에서는 음수라면, $y$ 의 부호가 바뀌는 $x$ 의 값에서는 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 가 존재하지 않기 때문이다. 단, 그 부호 변화가 $g(x)$ 의 근에서 일어나는 경우는 예외이다. 그런 경우는 매우 특수하므로, 우리는 기술적인 세부 사항에 얽매이지 않기 위해 보통 이를 무시해도 안전하다고 본다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류