변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 12번

CLP-2 · 2.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

미분방정식 $y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t$ 를 푸세요. 해 $y(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 명시적으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Solve the differential equation $y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t$ . You should express the solution $y(t)$ in terms of $t$ explicitly.

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} y'&=e^{\frac{y}{3}}\cos t\\ e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\cos t\,\mathrm{d}t\\ \int e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\int\cos t\,\mathrm{d}t\\ -3e^{-y/3}&=\sin t +C\\ \frac{1}{e^{y/3}}&=\frac{\sin t +C}{-3}\\ e^{y/3} &=\frac{-3}{C+\sin t} \\ \frac{y}{3}&=\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \\y(t)&=3\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

로그의 정의역이 $(0,\infty)$ 이므로 해는 $C+\sin t<0$ 일 때만 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

for any constant $C$ .

Since the domain of logarithm is $(0,\infty)$ , the solution only exists when $C+\sin t<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 13번우리말 번역

미분방정식

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x e^{x^2-\log(y^2)}$

을 푸세요.

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= x e^{x^2-\log(y^2)} =\frac{x e^{x^2}}{y^2}\\ y^2\mathrm{d}y&=x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\\ \int y^2\mathrm{d}y&=\int x e^{x^2}\,\mathrm{d}x \\ \text{$xe^{x^2}$ 의 부정적분을 추측하거나, 치환 $u=x^2$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{y^3}{3}&=\frac{1}{2} e^{x^2}+C'\\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+3C' \\ \text{$C'$ 은 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이므로 $3C'$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이다. 따라서 $3C'$ 을 임의의 상수 $C$ 로 바꾼다.} \\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+C \\y&=\sqrt[3]{\frac{3}{2} e^{x^2}+C} \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류