변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 13번

CLP-2 · 2.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

미분방정식

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x e^{x^2-\log(y^2)}$

을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve the differential equation

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x e^{x^2-\log(y^2)}$

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= x e^{x^2-\log(y^2)} =\frac{x e^{x^2}}{y^2}\\ y^2\mathrm{d}y&=x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\\ \int y^2\mathrm{d}y&=\int x e^{x^2}\,\mathrm{d}x \\ \text{$xe^{x^2}$ 의 부정적분을 추측하거나, 치환 $u=x^2$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{y^3}{3}&=\frac{1}{2} e^{x^2}+C'\\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+3C' \\ \text{$C'$ 은 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이므로 $3C'$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 임의의 상수이다. 따라서 $3C'$ 을 임의의 상수 $C$ 로 바꾼다.} \\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+C \\y&=\sqrt[3]{\frac{3}{2} e^{x^2}+C} \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= x e^{x^2-\log(y^2)} =\frac{x e^{x^2}}{y^2}\\ y^2\mathrm{d}y&=x e^{x^2}\,\mathrm{d}x\\ \int y^2\mathrm{d}y&=\int x e^{x^2}\,\mathrm{d}x \\ \text{We can guess the antiderivative of $xe^{x^2}$, or use the substitution $u=x^2$, $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$.} \\ \frac{y^3}{3}&=\frac{1}{2} e^{x^2}+C'\\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+3C' \\ \text{Since $C'$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, then also $3C'$ can be any constant in $(-\infty,\infty)$, so we replace $3C'$ with the arbitrary constant $C$.} \\ y^3&=\frac{3}{2} e^{x^2}+C \\y&=\sqrt[3]{\frac{3}{2} e^{x^2}+C} \end{aligned}$

for any constant $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 10번우리말 번역

변수분리형 초깃값 문제의 해를 구하세요:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{2x}{e^y}, &y(0) &= \log 2 \end{aligned}$

해를 $y = y(x)$ 꼴로 명시적으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

정리하면 다음과 같다:

$\begin{aligned} e^y\,\mathrm{d}y &= 2x\,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면: } \\ \int e^y\,\mathrm{d}y &= \int 2x\,\mathrm{d}x\\ e^y &= x^2+C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=\log2$ 이므로} \\ e^{\log 2} &= 0^2+C \\ 2 &= C, \\ \text{따라서} \\ e^{y} &= x^2+2 \\ y &= \log(x^2+2) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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