변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 17번

CLP-2 · 2.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

$y(1)=4$ 이고 다음을 만족시키는 함수 $y=y(x)$ 를 구하세요.

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{15x^2 + 4x + 3}{y}$

영어 원문 보기

Find the function $y=y(x)$ that satisfies $y(1)=4$ and

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{15x^2 + 4x + 3}{y}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이며 일반적인 방법으로 푼다. 양변을 정리하여 변수를 분리하고 적분하면,

$\begin{aligned} y\,\mathrm{d}y &= (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \int y\,\mathrm{d}y &= \int (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x + C. \\ \text{$x=1$ 과 $y=4$ 를 대입하면 $ \frac{4^2}2 = 5+2+3+C $ 이므로 $C=-2$ 이다. 따라서} \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x - 2 \\ y^2 &= 10x^3 + 4x^2 + 6x - 4 \\ \text{그러면 $y$ 가 될 수 있는 함수는 다음 두 가지이다:} \\ y = \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} &\qquad\text{또는}\qquad y = - \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \\ \text{$x=1$ 일 때 $y=4$ 이다. 이것은 첫 번째 식에만 맞으므로} \\ y &= \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation that we solve in the usual way. Cross-multiplying and integrating,

$\begin{aligned} y\,\mathrm{d}y &= (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \int y\,\mathrm{d}y &= \int (15x^2 + 4x + 3) \,\mathrm{d}x \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x + C. \\ \text{Plugging in $x=1$ and $y=4$ gives $ \frac{4^2}2 = 5+2+3+C, $ and so $C=-2$. Therefore} \\ \frac{y^2}{2} &= 5x^3 + 2x^2 + 3x - 2 \\ y^2 &= 10x^3 + 4x^2 + 6x - 4 \\ \text{This leaves us with two possible functions for $y$:} \\ y = \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} &\qquad\text{OR}\qquad y = - \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \\ \text{When $x=1$, $y=4$. This only fits the first equation, so} \\ y &= \sqrt{10x^3 + 4x^2 + 6x - 4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 7번우리말 번역

어떤 언어에서 특정한 변화가 옛 형태에서 새 형태로 일어나고 있다고 합시다. ( 한 예로 독일어 동사 "볼렌(wollen)"의 2인칭 활용이 "볼트(wollt)"에서 "볼스트(wollst)"로 바뀐 것이 있습니다. 이 예는 사이트 계량언어학의 법칙(Laws in Quantitative Linguistics)의 "언어 변화(Change in Language)" http://lql.uni-trier.de/index.php/Change_in_language 에서 가져왔으며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. ) $p(t)$ 를 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율(0은 전혀 사용하지 않음, 1은 항상 사용함을 뜻하며 0과 1 사이의 수로 나타냄)이라 하세요. 피오트로프스키의 법칙(피오트로프스키의 법칙은 글롯토피디아(Glottopedia)의 피오트로프스키 법칙(Piotrowski-Gesetz) 쪽, http://www.glottopedia.org/index.php/Piotrowski-Gesetz 의 내용을 풀어 쓴 것이며, 2017년 8월 18일에 접속했습니다. 이 출처에 따르면 이 법칙은 부부인 R. G. 피오트로프스키와 A. A. 피오트로프스카야의 연구를 바탕으로 하며, 이후 G. 알트만이 일반화했습니다.)은 다음을 예측합니다.

새 형태의 사용은 시간이 지남에 따라, 새 형태의 비율과 옛 형태의 비율의 곱에 비례하는 변화율로 퍼진다.

이를 미분방정식으로 나타내세요. 미분방정식을 풀 필요는 없습니다.

다 풀었으면 정답 확인

$p(t)$ 가 화자가 새 형태를 사용하는 시간의 비율이고 0과 1 사이의 값이므로, $1-p(t)$ 는 화자가 옛 형태를 사용하는 시간의 비율이다.

따라서 이 법칙은 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ 가 $p(t)\times \big(1-p(t)\big)$ 에 비례한다고 말한다. 두 양이 비례한다는 것은 한 양이 다른 양의 상수 배라는 뜻이다. 그러므로 이 법칙은 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\alpha p(t)\big(1-p(t)\big)$ 임을 뜻한다.

참고: 이 모형에 따르면 새 형태가 매우 드물거나 완전히 보편화되었을 때 그 채택의 변화율은 작다. 이는 타당하다. 새 형태가 항상 쓰이면( $p(t)\approx 1$ ) 새로 바꿀 사람이 남아 있지 않고, 새 형태가 거의 쓰이지 않으면( $p(t)\approx 0$ ) 사람들이 그 형태를 알지 못하므로 따라 쓰지 않기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류