변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 20번

CLP-2 · 2.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)$ 는 항상 양수이고, $f(0)=e$ 이며 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) = x\,f(x)$ 를 만족시킵니다. 이 함수를 구하세요.

영어 원문 보기

A function $f(x)$ is always positive, has $f(0)=e$ and satisfies $f'(x) = x\,f(x)$ for all $x$ . Find this function.

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정답·풀이 보기

미지의 함수 $f(x)$ 는 $f$ 의 도함수가 포함된 방정식을 만족시킨다. 즉, 미분방정식을 다루는 문제이다. 구체적으로, $y=f(x)$ 가 다음의 변수분리형 미분방정식을 따른다고 주어져 있다. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= xy\\ \frac{\mathrm{d}y}{y} &= x\,\mathrm{d}x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} &= \int x\, \mathrm{d}x \\ \log|y| &=\frac{x^2}{2} + C \\ \\ \text{$C$ 를 구하기 위해 $x=0$ 과 $y=e$ 를 대입한다.} \\ \log e &=\frac{0^2}{2}+ C\\ 1&= C \\ \text{따라서 해는 다음과 같다.} \\ \log|y|&= \frac{x^2}{2} + 1 \\ \text{$y=f(x)>0$ 이 주어졌으므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ \log y &= \frac{x^2}{2}+1 \\ y&=e^{1+\frac{1}{2}x^2}=e\cdot e^{x^2/2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The unknown function $f(x)$ satisfies an equation that involves the derivative of $f$ . That means we're in differential equation territory. Specifically, we are told that $y=f(x)$ obeys the separable differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= xy\\ \frac{\mathrm{d}y}{y} &= x\,\mathrm{d}x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} &= \int x\, \mathrm{d}x \\ \log|y| &=\frac{x^2}{2} + C \\ \\ \text{To determine $C$ we set $x=0$ and $y=e$.} \\ \log e &=\frac{0^2}{2}+ C\\ 1&= C \\ \text{So, the solution is } \\ \log|y|&= \frac{x^2}{2} + 1 \\ \text{We are told that $y=f(x)>0$, so may drop the absolute value signs.} \\ \log y &= \frac{x^2}{2}+1 \\ y&=e^{1+\frac{1}{2}x^2}=e\cdot e^{x^2/2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 12번우리말 번역

미분방정식 $y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t$ 를 푸세요. 해 $y(t)$ 를 $t$ 에 대한 식으로 명시적으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} y'&=e^{\frac{y}{3}}\cos t\\ e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\cos t\,\mathrm{d}t\\ \int e^{-y/3}\mathrm{d}y&=\int\cos t\,\mathrm{d}t\\ -3e^{-y/3}&=\sin t +C\\ \frac{1}{e^{y/3}}&=\frac{\sin t +C}{-3}\\ e^{y/3} &=\frac{-3}{C+\sin t} \\ \frac{y}{3}&=\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \\y(t)&=3\log\left(\frac{-3}{C+\sin t}\right) \end{aligned}$

단, $C$ 는 임의의 상수이다.

로그의 정의역이 $(0,\infty)$ 이므로 해는 $C+\sin t<0$ 일 때만 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류