변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 22번

CLP-2 · 2.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

미분방정식 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y$ 의 해 중에서 $y(0)=2$ 를 만족시키는 것을 구하세요. $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Find the solution of the differential equation $\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y$ that satisfies $y(0)=2$ . You don't have to solve for $y$ in terms of $x$ .

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이다.

$\begin{aligned} \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sec x}y\\ y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \int y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \int \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \\ \text{좌변의 적분은 치환 $u={y^2-4}$, $\frac12\mathrm{d}u=y\,\mathrm{d}y$ 를 이용한다.} \\ \frac{1}{2}\int \big(1+\sqrt{u}\big)\,\mathrm{d}u&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(u+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(y^2-4+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}\right)&=\sec x +C \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2C+4 \\ \text{$C$ 를 구하기 위해 $x=0$, $y=2$ 를 대입한다.} \\ 4+\frac{2}{3}\sqrt{4-4}^3&=2\sec (0)+2C+4\\ 4&=2+2C+4\\ 2&=2C+4 \\ \text{따라서} \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation.

$\begin{aligned} \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sec x}y\\ y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \int y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \int \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \\ \text{For the integral on the left, we use the substitution $u={y^2-4}$, $\frac12\mathrm{d}u=y\,\mathrm{d}y$.} \\ \frac{1}{2}\int \big(1+\sqrt{u}\big)\,\mathrm{d}u&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(u+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(y^2-4+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}\right)&=\sec x +C \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2C+4 \\ \text{To find $C$ we set $x=0$ and $y=2$.} \\ 4+\frac{2}{3}\sqrt{4-4}^3&=2\sec (0)+2C+4\\ 4&=2+2C+4\\ 2&=2C+4 \\ \text{So,} \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 18번우리말 번역

$y(0)=1$ 일 때, $y'=x^3y$ 의 해 $y(x)$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x^3y \\\frac{\mathrm{d}y}{y}&=x^3\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{y}&=\int x^3\,\mathrm{d}x\\ \log|y|&=\frac{x^4}{4}+C\\ |y|&=e^{x^4/4+C}=e^{x^4/4}e^C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=1$ 이라고 주어져 있다. 즉 $1=e^0e^C$ 이므로 $e^C=1$ 이다. 즉 $C=0$ 이다.} \\ |y|&=e^{x^4/4} \\ \text{따라서 가능한 함수는 다음 두 가지가 남는다:} \\ y=e^{x^4/4}&\qquad\text{또는}\qquad y=-e^{x^4/4} \\ \text{첫째 함수는 항상 양수이고, 둘째 함수는 항상 음수이다. $x=0$ 일 때 $y=1$ (양수)이므로 다음을 얻는다} \\ y&=e^{x^4/4} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류