변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 23번

CLP-2 · 2.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

어떤 호수의 물고기 개체 수가 시각 $t=0$ 에 병에 걸렸고, 그 결과 시각 $t\ge 0$ 에서의 개체 수 $P(t)$ 가 다음을 만족시킨다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}$

여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 처음에 호수에 물고기가 90,000마리 있었고 6주 후에 40,000마리가 남았다면, 물고기 개체 수가 10,000마리로 줄어드는 것은 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

The fish population in a lake is attacked by a disease at time $t=0$ , with the result that the size $P(t)$ of the population at time $t\ge 0$ satisfies

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}$

where $k$ is a positive constant. If there were initially 90,000 fish in the lake and 40,000 were left after 6 weeks, when will the fish population be reduced to 10,000?

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정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $P=90,000$ 이므로 } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{따라서} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{이제 $k$ 를 구한다. $t$ 를 주 단위로 나타내자. 그러면 $t=6$ 일 때 $P=40,000$ 이다.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{구한 $k$ 의 값을 ($*$)에 대입하면} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 $P=10,000$ 을 대입하고 $t$ 에 대해 푼다.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}$

$k$ 를 구할 때 $t$ 를 주 단위로 나타냈으므로, 12주 후에 개체 수가 10,000마리로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{At $t=0$, $P=90,000$ so } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{Therefore,} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{Now, we find $k$. Let $t$ be measured in weeks. Then when $t=6$, $P=40,000$.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{Substituting our value of $k$ into ($*$):} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{To find when the population will be 10,000, we set $P=10,000$ and solve for $t$.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}$

Since we measured $t$ in weeks when we found $k$ , we see that in 12 weeks the population will decrease to 10,000 individuals.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 22번우리말 번역

미분방정식 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y$ 의 해 중에서 $y(0)=2$ 를 만족시키는 것을 구하세요. $y$ 를 $x$ 에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다.

다 풀었으면 정답 확인

이것은 변수분리형 미분방정식이다.

$\begin{aligned} \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sec x}y\\ y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \int y\big[1+\sqrt{y^2-4}\big]\ \mathrm{d}y &= \int \sec x\ \tan x\ \mathrm{d}x \\ \\ \text{좌변의 적분은 치환 $u={y^2-4}$, $\frac12\mathrm{d}u=y\,\mathrm{d}y$ 를 이용한다.} \\ \frac{1}{2}\int \big(1+\sqrt{u}\big)\,\mathrm{d}u&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(u+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)&=\sec x +C \\\frac{1}{2} \left(y^2-4+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}\right)&=\sec x +C \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2C+4 \\ \text{$C$ 를 구하기 위해 $x=0$, $y=2$ 를 대입한다.} \\ 4+\frac{2}{3}\sqrt{4-4}^3&=2\sec (0)+2C+4\\ 4&=2+2C+4\\ 2&=2C+4 \\ \text{따라서} \\ y^2+\frac{2}{3}(y^2-4)^{3/2}&=2\sec x +2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류