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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 mm 인 물체를 시각 t=0t=0 에 처음 속력 v0v_0 으로 수직 위로 던져 올린다. 올라가는 동안 물체에 작용하는 힘은 중력(일정하다고 가정한다)과 물체의 속력 v(t)v(t) 의 제곱에 비례하는 공기 저항력뿐이다. 따라서 운동 미분방정식은 다음과 같다.

mdvdt=−(mg+kv2)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}

여기서 gg 와 kk 는 양의 상수이다. 물체는 언제 최고점에 도달하나요?

영어 원문 보기

An object of mass mm is projected straight upward at time t=0t=0 with initial speed v0v_0. While it is going up, the only forces acting on it are gravity (assumed constant) and a drag force proportional to the square of the object's speed v(t)v(t). It follows that the differential equation of motion is

mdvdt=−(mg+kv2)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}

where gg and kk are positive constants. At what time does the object reach its highest point?

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 맞게 푼다.

mdvdt=−(mg+kv2)mmg+kv2 dv=−dt∫mmg+kv2 dv=∫−dt좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 mg 를 묶어 내자.1mg∫m1+kmgv2 dv=−t+C1g∫11+(kmgv)2 dv=−t+C이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 u=kmgv, du=kmg dv 를 이용할 수 있다.1gmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Cmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Ct=0 일 때 v=v0 이므로: mgkarctan⁡(kmgv0)=CC 를 (∗) 에 대입한다.mgkarctan⁡(kmgv)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t 최고점에서 물체의 속도는 v=0 이다. 이는 t 가 다음을 만족할 때 일어난다:mgkarctan⁡(kmg0)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t0=mgkarctan⁡(kmgv0)−tt=mgkarctan⁡(kmgv0)(∗)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 $mg$ 를 묶어 내자.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=v_0$ 이므로: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{$C$ 를 $(*)$ 에 대입한다.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ 최고점에서 물체의 속도는 $v=0$ 이다. 이는 $t$ 가 다음을 만족할 때 일어난다:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

mdvdt=−(mg+kv2)mmg+kv2 dv=−dt∫mmg+kv2 dv=∫−dtThe left integral looks something like the antiderivative of arctangent. Let’s factor out that mg from the denominator.1mg∫m1+kmgv2 dv=−t+C1g∫11+(kmgv)2 dv=−t+CNow it looks even more like the derivative of arctangent. We can guess the antiderivative from here, or use the substitution u=kmgv, du=kmg dv.1gmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Cmgkarctan⁡(kmgv)=−t+CAt t=0, v=v0, so: mgkarctan⁡(kmgv0)=CPlug C into (∗).mgkarctan⁡(kmgv)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t At its highest point, the object has velocity v=0. This happens when t obeys:mgkarctan⁡(kmg0)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t0=mgkarctan⁡(kmgv0)−tt=mgkarctan⁡(kmgv0)(∗)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{The left integral looks something like the antiderivative of arctangent. Let's factor out that $mg$ from the denominator.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{Now it looks even more like the derivative of arctangent. We can guess the antiderivative from here, or use the substitution $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{At $t=0$, $v=v_0$, so: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{Plug $C$ into $(*)$.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ At its highest point, the object has velocity $v=0$. This happens when $t$ obeys:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 23번우리말 번역

어떤 호수의 물고기 개체 수가 시각 t=0t=0 에 병에 걸렸고, 그 결과 시각 t≥0t\ge 0 에서의 개체 수 P(t)P(t) 가 다음을 만족시킨다.

dPdt=−kP\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}

여기서 kk 는 양의 상수이다. 처음에 호수에 물고기가 90,000마리 있었고 6주 후에 40,000마리가 남았다면, 물고기 개체 수가 10,000마리로 줄어드는 것은 언제인지 구하세요.

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주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

dPdt=−kPdPP=−k dt∫dPP=∫−k dt2P=−kt+Ct=0 일 때 P=90,000 이므로 290,000=−k×0+CC=2×300=600따라서2P=−kt+600이제 k 를 구한다. t 를 주 단위로 나타내자. 그러면 t=6 일 때 P=40,000 이다.240,000=−6k+6002⋅200=−6k+600k=2006=1003구한 k 의 값을 (∗)에 대입하면2P=−1003t+600개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 P=10,000 을 대입하고 t 에 대해 푼다.210,000=−1003t+6002⋅100=−1003t+6001003t=400t=12(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $P=90,000$ 이므로 } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{따라서} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{이제 $k$ 를 구한다. $t$ 를 주 단위로 나타내자. 그러면 $t=6$ 일 때 $P=40,000$ 이다.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{구한 $k$ 의 값을 ($*$)에 대입하면} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 $P=10,000$ 을 대입하고 $t$ 에 대해 푼다.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}

kk 를 구할 때 tt 를 주 단위로 나타냈으므로, 12주 후에 개체 수가 10,000마리로 줄어든다.

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CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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