변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 25번

CLP-2 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

모터보트가 속도 40 ft/sec로 달리다가 시각 $t=0$ 에 모터가 꺼진다. 그 후 물의 저항으로 인한 감속은 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}$

여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 10초 후 보트의 속도는 20 ft/sec이다.

(a) $k$ 의 값은 얼마인지 구하세요. (b) 보트의 속도가 5 ft/sec가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

A motor boat is traveling with a velocity of 40 ft/sec when its motor shuts off at time $t=0$ . Thereafter, its deceleration due to water resistance is given by

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}$

where $k$ is a positive constant. After 10 seconds, the boat's velocity is 20 ft/sec.

(a) What is the value of $k$ ? (b) When will the boat's velocity be 5 ft/sec?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

초

정답·풀이 보기

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=40$ 이므로 } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{따라서,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{비례상수 $k$ 는 다음 조건으로 정해진다.} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}$

(b) $k$ 의 값을 $(*)$ 에 대입하면,

$\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{$v(t)=5$ 가 되는 $t$ 의 값을 구하려 한다.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At $t=0$, $v=40$ so } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{Therefore,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{The constant of proportionality $k$ is determined by} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}$

(b) Subbing in the value of $k$ to $(*)$ ,

$\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{We want to know the value of $t$ that gives $v(t)=5$.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 24번우리말 번역

질량이 $m$ 인 물체를 시각 $t=0$ 에 처음 속력 $v_0$ 으로 수직 위로 던져 올린다. 올라가는 동안 물체에 작용하는 힘은 중력(일정하다고 가정한다)과 물체의 속력 $v(t)$ 의 제곱에 비례하는 공기 저항력뿐이다. 따라서 운동 미분방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}$

여기서 $g$ 와 $k$ 는 양의 상수이다. 물체는 언제 최고점에 도달하나요?

다 풀었으면 정답 확인

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 맞게 푼다.

$\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 $mg$ 를 묶어 내자.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=v_0$ 이므로: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{$C$ 를 $(*)$ 에 대입한다.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ 최고점에서 물체의 속도는 $v=0$ 이다. 이는 $t$ 가 다음을 만족할 때 일어난다:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류