변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 32번

CLP-2 · 2.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

반지름이 3 미터이고 높이가 6 미터인 원기둥 모양의 물탱크가 물로 가득 차 있을 때 바닥에 구멍이 났다. 물은 반지름이 1 센티미터인 구멍을 통해 빠져나간다. 만약

$h(t)$ 가 시각 $t$ 에서 탱크 안 물의 높이(단위: 미터)이고
$v(t)$ 가 시각 $t$ 에서 빠져나가는 물의 속도(단위: 초당 미터)이면
토리첼리의 법칙에 의해 $v(t)=\sqrt{2gh(t)}$ 이다. 여기서 $g=9.8\ {\rm m/sec^2}$ 이다. 탱크가 비는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A cylindrical water tank, of radius 3 meters and height 6 meters, is full of water when its bottom is punctured. Water drains out through a hole of radius 1 centimeter. If

$h(t)$ is the height of the water in the tank at time $t$ (in meters) and
$v(t)$ is the velocity of the escaping water at time $t$ (in meters per second) then
Torricelli's law states that $v(t)=\sqrt{2gh(t)}$ where $g=9.8\ {\rm m/sec^2}$ . Determine how long it takes for the tank to empty.

정답·풀이 보기

아주 짧은 시간 간격 $\mathrm{d}t$ 동안 탱크 안 물의 높이가 $\mathrm{d}h$ (음수)만큼 변한다고 하자. 그러면 이 시간 간격 동안 탱크 안 물의 양은 $\mathrm{d}V=-\pi(3)^2\mathrm{d}h$ 만큼 감소한다. 이는 같은 시간 간격 동안 구멍을 통해 흘러나간 물의 양과 같아야 한다. 구멍을 통해 흘러나가는 물은 반지름이 1 cm (즉, 0.01 m)이고 길이가 $v(t)\mathrm{d}t$ 인 원기둥을 이루는데, 이 길이는 $\mathrm{d}t$ 초 동안 물이 구멍 밖으로 움직인 거리이다. 따라서 시간 간격 $\mathrm{d}t$ 동안 구멍으로 빠져나간 물의 양은 $\pi(0.01)^2 v(t)\,\mathrm{d}t =\pi(0.01)^2 \sqrt{2gh(t)}\,\mathrm{d}t$ 이다.

이로부터 변수분리형 미분방정식을 얻는다. $g$ 는 상수임을 기억하자.

$\begin{aligned} -\pi(3)^2\mathrm{d}h&=\pi(0.01)^2 \sqrt{2gh(t)}\,\mathrm{d}t\\ \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}&=\int-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{h}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{시각 $0$ 에서 높이가 $6$ 이므로 $C=2\sqrt{6}$ 이고} \\ 2\sqrt{h}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,t+2\sqrt{6} \\ \text{탱크 안 물의 높이가 0 이 되는 때를 구하려 한다.} \\ 0&=-\Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}\,t+2\sqrt{6}\\ \Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}\,t&=2\sqrt{6}\\ t&=\frac{2\sqrt6}{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}}\\ &=2{\Big(\frac{3}{0.01}\Big)}^{\!2} \sqrt{\frac{3}{g}}\\ &=180,000 \sqrt{\frac{3}{g}}\approx 99,591\text{ sec} \approx 27.66\text{ hr} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that in a very short time interval $\mathrm{d}t$ , the height of water in the tank changes by $\mathrm{d}h$ (which is negative). Then in this time interval the amount of the water in the tank decreases by $\mathrm{d}V=-\pi(3)^2\mathrm{d}h$ . This must be the same as the amount of water that flows through the hole in this time interval. The water flowing through the hole makes a cylinder of radius 1 cm (that is, 0.01 m) with length $v(t)\mathrm{d}t$ , the distance the water moves out of the hole in $\mathrm{d}t$ seconds. So, the amount of water leaving the hole over the time interval $\mathrm{d}t$ is $\pi(0.01)^2 v(t)\,\mathrm{d}t =\pi(0.01)^2 \sqrt{2gh(t)}\,\mathrm{d}t$ .

This gives us a separable differential equation. Recall $g$ is a constant.

$\begin{aligned} -\pi(3)^2\mathrm{d}h&=\pi(0.01)^2 \sqrt{2gh(t)}\,\mathrm{d}t\\ \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}&=\int-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{h}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{At time $0$, the height is $6$, so $C=2\sqrt{6}$ and} \\ 2\sqrt{h}&=-{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)}^{\!2} \sqrt{2g}\,t+2\sqrt{6} \\ \text{We want to know when the height of the water in the tank is 0.} \\ 0&=-\Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}\,t+2\sqrt{6}\\ \Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}\,t&=2\sqrt{6}\\ t&=\frac{2\sqrt6}{\Big(\frac{0.01}{3}\Big)^{\!2} \sqrt{2g}}\\ &=2{\Big(\frac{3}{0.01}\Big)}^{\!2} \sqrt{\frac{3}{g}}\\ &=180,000 \sqrt{\frac{3}{g}}\approx 99,591\text{ sec} \approx 27.66\text{ hr} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 33번우리말 번역

반지름이 6 피트인 구형 탱크에 수은이 가득 차 있는데, 바닥에 반지름이 1 인치인 원형 구멍이 뚫렸습니다. 탱크의 수은이 모두 빠져나가는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

$g=32\ {\rm feet}/{\rm sec}^2$ 의 값을 사용하세요. 또한 토리첼리의 법칙을 사용하세요. 이 법칙은 탱크 안 수은의 높이가 $h$ 일 때 탱크에서 흘러나오는 수은의 속력이 $v=\sqrt{2gh}$ 임을 말해 줍니다.

다 풀었으면 정답 확인

시각 $t$ 에서 탱크 안 수은의 높이가 $h$ 이고, 이 값은 0 피트와 12 피트 사이라고 하자.

이때 수은의 윗면은 반지름이 $\sqrt{6^2-(h-6)^2}$ 인 원판을 이룬다. (위 그림의 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하여 구한 것이다. 그림에서는 $h$ 가 6보다 큰 경우를 나타냈지만, $[0,12]$ 에 속하는 모든 $h$ 에 대해 같은 식이 성립한다.) 이제 아주 짧은 시간 $\mathrm{d}t$ 동안 탱크 안 수은의 높이가 $\mathrm{d}h$ 만큼 변한다고 하자(이 값은 음수이다). 그러면 이 시간 동안 탱크 안 수은의 양은 $-\pi\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)^2\mathrm{d}h$ 만큼 줄어든다. (위 그림의 빨간 원판의 부피이다.) 이 양은 같은 시간 동안 구멍으로 흘러나간 수은의 양과 같아야 한다. 구멍에서 나오는 수은은 원기둥 모양이다. 이 원기둥의 반지름은 구멍의 반지름인 $\frac{1}{12}$ 피트이고, 길이는 수은이 $\mathrm{d}t$ 초 동안 이동한 거리인 $v(t)\mathrm{d}t$ 피트이다. 따라서 흘러나간 수은의 부피는 $\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 v\,\mathrm{d}t =\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t$ 이다. 이로부터 변수분리형 미분방정식을 얻는다.

$\begin{aligned} -\pi{\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)}^2\mathrm{d}h &=\pi\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ -{\big({36-(h^2-12h+36)}\ \big)}\mathrm{d}h &=\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^2-12h\big)\mathrm{d}h &=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\sqrt{h}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\int\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{시각 $0$ 에서 높이는 $12$ 이므로 $C=\frac{12^{5/2}}{5/2}-12\frac{12^{3/2}}{3/2} =12^{5/2}\big(\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\big) =-\frac{4}{15}12^{5/2}$ 이고, 따라서} \\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t -\frac{4}{15}12^{5/2} \\ \text{높이가 $h=0$ 이 되는 시각 $t$ 를 구하면 된다.} \\ 0&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t-\frac{4}{15}12^{5/2}\\ \frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t&=\frac{4}{15}12^{5/2}\\ t&=\frac{4\times 144}{15} \sqrt{\frac{12^5}{2g}}\\ &=38.4 \sqrt{\frac{124416}{g}}\approx 2,394\,\text{sec }\approx 0.665\, \text{hr} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용도전자동 분류