빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

반지름이 6 피트인 구형 탱크에 수은이 가득 차 있는데, 바닥에 반지름이 1 인치인 원형 구멍이 뚫렸습니다. 탱크의 수은이 모두 빠져나가는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

g=32 feet/sec2g=32\ {\rm feet}/{\rm sec}^2 의 값을 사용하세요. 또한 토리첼리의 법칙을 사용하세요. 이 법칙은 탱크 안 수은의 높이가 hh 일 때 탱크에서 흘러나오는 수은의 속력이 v=2ghv=\sqrt{2gh} 임을 말해 줍니다.

영어 원문 보기

A spherical tank of radius 6 feet is full of mercury when a circular hole of radius 1 inch is opened in the bottom. How long will it take for all of the mercury to drain from the tank?

Use the value g=32 feet/sec2g=32\ {\rm feet}/{\rm sec}^2. Also use Torricelli's law, which states when the height of mercury in the tank is hh, the speed of the mercury escaping from the tank is v=2ghv=\sqrt{2gh}.

정답·풀이 보기

시각 tt 에서 탱크 안 수은의 높이가 hh 이고, 이 값은 0 피트와 12 피트 사이라고 하자.

그림

이때 수은의 윗면은 반지름이 62−(h−6)2\sqrt{6^2-(h-6)^2} 인 원판을 이룬다. (위 그림의 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하여 구한 것이다. 그림에서는 hh 가 6보다 큰 경우를 나타냈지만, [0,12][0,12] 에 속하는 모든 hh 에 대해 같은 식이 성립한다.) 이제 아주 짧은 시간 dt\mathrm{d}t 동안 탱크 안 수은의 높이가 dh\mathrm{d}h 만큼 변한다고 하자(이 값은 음수이다). 그러면 이 시간 동안 탱크 안 수은의 양은 −π(62−(h−6)2 )2dh-\pi\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)^2\mathrm{d}h 만큼 줄어든다. (위 그림의 빨간 원판의 부피이다.) 이 양은 같은 시간 동안 구멍으로 흘러나간 수은의 양과 같아야 한다. 구멍에서 나오는 수은은 원기둥 모양이다. 이 원기둥의 반지름은 구멍의 반지름인 112\frac{1}{12} 피트이고, 길이는 수은이 dt\mathrm{d}t 초 동안 이동한 거리인 v(t)dtv(t)\mathrm{d}t 피트이다. 따라서 흘러나간 수은의 부피는 π(112)2v dt=π(112)22gh dt\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 v\,\mathrm{d}t =\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t 이다. 이로부터 변수분리형 미분방정식을 얻는다.

−π(62−(h−6)2 )2dh=π(112)22gh dt−(36−(h2−12h+36) )dh=(112)22gh dt(h2−12h)dh=11442gh dt(h3/2−12h1/2)dh=11442g dt∫(h3/2−12h1/2)dh=∫11442g dth5/25/2−12h3/23/2=11442g t+C시각 0 에서 높이는 12 이므로 C=125/25/2−12123/23/2=125/2(25−23)=−415125/2 이고, 따라서h5/25/2−12h3/23/2=11442g t−415125/2높이가 h=0 이 되는 시각 t 를 구하면 된다.0=11442g t−415125/211442g t=415125/2t=4×144151252g=38.4124416g≈2,394 sec ≈0.665 hr\begin{aligned} -\pi{\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)}^2\mathrm{d}h &=\pi\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ -{\big({36-(h^2-12h+36)}\ \big)}\mathrm{d}h &=\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^2-12h\big)\mathrm{d}h &=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\sqrt{h}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\int\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{시각 $0$ 에서 높이는 $12$ 이므로 $C=\frac{12^{5/2}}{5/2}-12\frac{12^{3/2}}{3/2} =12^{5/2}\big(\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\big) =-\frac{4}{15}12^{5/2}$ 이고, 따라서} \\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t -\frac{4}{15}12^{5/2} \\ \text{높이가 $h=0$ 이 되는 시각 $t$ 를 구하면 된다.} \\ 0&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t-\frac{4}{15}12^{5/2}\\ \frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t&=\frac{4}{15}12^{5/2}\\ t&=\frac{4\times 144}{15} \sqrt{\frac{12^5}{2g}}\\ &=38.4 \sqrt{\frac{124416}{g}}\approx 2,394\,\text{sec }\approx 0.665\, \text{hr} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that at time tt, the mercury in the tank has height hh, which is between 0 and 12 feet.

figure

At that time, the top surface of the mercury forms a circular disk of radius 62−(h−6)2\sqrt{6^2-(h-6)^2}. (We found this by applying the Pythagorean Theorem to the triangle in the diagram above. In the diagram, hh is shown as being larger than 6, but the same equation holds for all hh in [0,12][0,12].) Now suppose that in a very short time interval dt\mathrm{d}t, the height of mercury in the tank changes by dh\mathrm{d}h (which is negative). Then in this time interval the amount of the mercury in the tank decreases by −π(62−(h−6)2 )2dh-\pi\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)^2\mathrm{d}h. (That's the volume of the red disk in the figure above.) This must be the same as the amount of mercury that flows through the hole in this time interval. The mercury comes out of the hole as a cylinder. Its radius is the radius of the hole, 112\frac{1}{12} foot, and its length is the distance the mercury travels in dt\mathrm{d}t seconds, v(t)dtv(t)\mathrm{d}t feet. So, the volume of escaped mercury is π(112)2v dt=π(112)22gh dt\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 v\,\mathrm{d}t =\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t. This gives us a separable differential equation.

−π(62−(h−6)2 )2dh=π(112)22gh dt−(36−(h2−12h+36) )dh=(112)22gh dt(h2−12h)dh=11442gh dt(h3/2−12h1/2)dh=11442g dt∫(h3/2−12h1/2)dh=∫11442g dth5/25/2−12h3/23/2=11442g t+CAt time 0, the height is 12, so C=125/25/2−12123/23/2=125/2(25−23)=−415125/2, which yieldsh5/25/2−12h3/23/2=11442g t−415125/2We want to find the time t when the height is h=0.0=11442g t−415125/211442g t=415125/2t=4×144151252g=38.4124416g≈2,394 sec ≈0.665 hr\begin{aligned} -\pi{\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)}^2\mathrm{d}h &=\pi\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ -{\big({36-(h^2-12h+36)}\ \big)}\mathrm{d}h &=\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^2-12h\big)\mathrm{d}h &=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\sqrt{h}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\int\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{At time $0$, the height is $12$, so $C=\frac{12^{5/2}}{5/2}-12\frac{12^{3/2}}{3/2} =12^{5/2}\big(\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\big) =-\frac{4}{15}12^{5/2}$, which yields} \\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t -\frac{4}{15}12^{5/2} \\ \text{We want to find the time $t$ when the height is $h=0$.} \\ 0&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t-\frac{4}{15}12^{5/2}\\ \frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t&=\frac{4}{15}12^{5/2}\\ t&=\frac{4\times 144}{15} \sqrt{\frac{12^5}{2g}}\\ &=38.4 \sqrt{\frac{124416}{g}}\approx 2,394\,\text{sec }\approx 0.665\, \text{hr} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 4.3절 · 9번우리말 번역

미분방정식의 일반해를 구하세요.

2xdydx=y22x\frac{dy}{dx}={y}^{2}

다 풀었으면 정답 확인

y=−2C+ln⁡xy=-\frac{2}{C+\ln x}

이 문제로 이어서 풀기
# 변수분리형 미분방정식활용도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「변수분리형 미분방정식」 문제 목록으로