수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 5번

CLP-2 · 3.1절 · 5번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

모든 짝수 $n$ 에 대해 $a_n>0$ ,
모든 홀수 $n$ 에 대해 $a_n<0$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ 은 존재하지 않는다.

영어 원문 보기

Give an example of a sequence $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ with the following properties:

$a_n>0$ for all even $n$ ,
$a_n<0$ for all odd $n$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ does not exist.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나는 $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ 이다. 또 다른 예는 $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer is $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ . Another is $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

$n \leq 1000$ 인 모든 $n$ 에 대해 $a_n>1000$ ,
모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ , 그리고
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

다 풀었으면 정답 확인

가능한 답은 많다. 그중 하나는 다음과 같다. $a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ 만일 }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ 만일 }n > 1000 \end{cases}$ 여기서는 1000번째 항을 기준으로 앞뒤의 모양이 다른 급수를 잡았다. 모든 항이 바로 앞의 항보다 작음에 주목한다.

원하는 성질을 갖는 또 다른 수열은 다음과 같다. $a_n=\frac{1,002,001}{n}-2$ $n \leq 1000$ 일 때, $a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000$ 이다. 즉, $n \le 1000$ 일 때 $a_n>1000$ 이다. $n$ 이 커질수록 $a_n$ 은 작아지므로 모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ 이다. 마지막으로 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류