빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.1절 · 10번우리말 번역

다음 수열의 극한을 구하세요.

(a) an=3n2−2n+54n+3a_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3} (b) bn=3n2−2n+54n2+3b_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3} (c) cn=3n2−2n+54n3+3c_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}

영어 원문 보기

Determine the limits of the following sequences.

(a) an=3n2−2n+54n+3a_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3} (b) bn=3n2−2n+54n2+3b_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3} (c) cn=3n2−2n+54n3+3c_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}

답 쓰고 채점
(a)
(b)
(c)
정답·풀이 보기

유리함수의 끝 거동을 구할 때는 지난 학기에 배운 대로, 분자와 분모에서 nn 의 최고차항을 약분하거나, 이 단계를 건너뛰고 분자와 분모의 최고차항의 차수를 비교하면 된다.

(a) 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으므로 이 수열은 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산한다. nn 이 클 때 항이 양수이므로 극한은 (양의) 무한대이다. (분자가 분모보다 훨씬 더 빠르게 커져서 항의 절댓값이 매우 커진다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

an=3n2−2n+54n+3(1n1n)=3n−2+5n4+3nlim⁡n→∞an=lim⁡n→∞3n−2+5n4+3n=lim⁡n→∞3n−2+04+0=∞\begin{aligned} a_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3}\left(\dfrac{\frac1n}{\frac1n}\right)=\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} \\\lim_{n \to \infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+0}{4+0} = \infty \end{aligned} (b) 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로, nn 이 무한대로 갈 때 이 수열은 최고차항의 계수의 비인 34\dfrac{3}{4} 로 수렴한다. (분자가 분모와 거의 같은 속도로 커지므로 항이 거의 일정한 비로 안정된다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

bn=3n2−2n+54n2+3(1n21n2)=3−2n+5n24+3n2lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞3−2n+5n24+3n2=3−0+04+0=34\begin{aligned} b_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right)=\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} \\\lim_{n \to \infty}b_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} = \frac{3-0+0}{4+0}=\frac{3}{4} \end{aligned} (c) 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮으므로, nn 이 무한대로 갈 때 이 수열은 0 으로 수렴한다. (분모가 분자보다 훨씬 더 빠르게 커져서 항이 매우 작아진다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

cn=3n2−2n+54n3+3(1n31n3)=3n−2n2+5n34+3n3lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞3n−2n2+5n34+3n3=0−0+04+0=0\begin{aligned} c_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}}\right)=\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} \\\lim_{n \to \infty}c_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} = \dfrac{0-0+0}{4+0}=0 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

When determining the end behaviour of rational functions, recall from last semester that we can either cancel out the highest power of nn from the numerator and denominator, or skip this step and compare the highest powers of the numerator and denominator.

(a) Since the numerator has a higher degree than the denominator, this sequence will diverge to positive or negative infinity; since its terms are positive for large nn, its limit is (positive) infinity. (You can imagine that the numerator is growing much, much faster than the denominator, leading the terms to have a very, very large absolute value.)

Calculating the longer way:

an=3n2−2n+54n+3(1n1n)=3n−2+5n4+3nlim⁡n→∞an=lim⁡n→∞3n−2+5n4+3n=lim⁡n→∞3n−2+04+0=∞\begin{aligned} a_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3}\left(\dfrac{\frac1n}{\frac1n}\right)=\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} \\\lim_{n \to \infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+0}{4+0} = \infty \end{aligned} (b) Since the numerator has the same degree as the denominator, as nn goes to infinity, this sequence will converge to the ratio of their leading coefficients: 34\dfrac{3}{4}. (You can imagine that the numerator is growing at roughly the same rate as the denominator, so the terms settle into an almost-constant ratio.)

Calculating the longer way:

bn=3n2−2n+54n2+3(1n21n2)=3−2n+5n24+3n2lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞3−2n+5n24+3n2=3−0+04+0=34\begin{aligned} b_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right)=\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} \\\lim_{n \to \infty}b_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} = \frac{3-0+0}{4+0}=\frac{3}{4} \end{aligned} (c) Since the numerator has a lower degree than the denominator, this sequence will converge to 0 as nn goes to infinity. (You can imagine that the denominator is growing much, much faster than the numerator, leading the terms to be very, very small.)

Calculating the longer way:

cn=3n2−2n+54n3+3(1n31n3)=3n−2n2+5n34+3n3lim⁡n→∞cn=lim⁡n→∞3n−2n2+5n34+3n3=0−0+04+0=0\begin{aligned} c_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}}\right)=\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} \\\lim_{n \to \infty}c_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} = \dfrac{0-0+0}{4+0}=0 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 11번우리말 번역

수열 an=4n3−21ne+1na_n = \dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}} 의 극한을 구하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

얼핏 보면 nn 이 커질 때 분자와 분모가 모두 매우 커지므로, 극한을 구하려면 조금 더 생각해야 한다.

이 수열은 유리함수 꼴이 아니지만, 분자와 분모를 모두 nen^e 으로 나누면 상황을 더 분명히 볼 수 있다.

an=4n3−21ne+1n(1ne1ne)=4n3−e−21ne1+1ne+1e<3 이므로 3−e 는 양수이고, 따라서 lim⁡n→∞n3−e=∞ 이다.lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞4n3−e−21ne1+1ne+1=lim⁡n→∞4n3−e−01+0=∞\begin{aligned} a_n&=\dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}}\left(\frac{\frac{1}{n^e}}{\frac{1}{n^e}}\right) = \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} \\ \text{$e<3$ 이므로 $3-e$ 는 양수이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}n^{3-e}=\infty$ 이다.} \\ \lim_{n \to \infty}a_n&=\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} =\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-0}{1+0} = \infty \end{aligned}

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# 수열의 수렴과 발산계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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