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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.1절 · 11번우리말 번역

수열 an=4n3−21ne+1na_n = \dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}} 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence an=4n3−21ne+1na_n = \dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}}.

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얼핏 보면 nn 이 커질 때 분자와 분모가 모두 매우 커지므로, 극한을 구하려면 조금 더 생각해야 한다.

이 수열은 유리함수 꼴이 아니지만, 분자와 분모를 모두 nen^e 으로 나누면 상황을 더 분명히 볼 수 있다.

an=4n3−21ne+1n(1ne1ne)=4n3−e−21ne1+1ne+1e<3 이므로 3−e 는 양수이고, 따라서 lim⁡n→∞n3−e=∞ 이다.lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞4n3−e−21ne1+1ne+1=lim⁡n→∞4n3−e−01+0=∞\begin{aligned} a_n&=\dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}}\left(\frac{\frac{1}{n^e}}{\frac{1}{n^e}}\right) = \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} \\ \text{$e<3$ 이므로 $3-e$ 는 양수이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}n^{3-e}=\infty$ 이다.} \\ \lim_{n \to \infty}a_n&=\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} =\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-0}{1+0} = \infty \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

At first glance, we see both the numerator and denominator grow huge as nn increases, so we'll need to think a little further to find the limit.

We don't have a rational function, but we can still divide the top and bottom by nen^e to get a clearer picture.

an=4n3−21ne+1n(1ne1ne)=4n3−e−21ne1+1ne+1Since e<3, we see 3−e is positive, so lim⁡n→∞n3−e=∞.lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞4n3−e−21ne1+1ne+1=lim⁡n→∞4n3−e−01+0=∞\begin{aligned} a_n&=\dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}}\left(\frac{\frac{1}{n^e}}{\frac{1}{n^e}}\right) = \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} \\ \text{Since $e<3$, we see $3-e$ is positive, so $\lim\limits_{n \to \infty}n^{3-e}=\infty$.} \\ \lim_{n \to \infty}a_n&=\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-\frac{21}{n^e}}{1+\frac{1}{n^{e+1}}} =\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^{3-e}-0}{1+0} = \infty \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 17번우리말 번역

수열 bn=en2n+n2b_n=\dfrac{e^n}{2^n+n^2} 의 극한을 구하세요.

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먼저, 분자와 분모가 모두 한없이 커짐에 주목한다. 따라서 한쪽이 다른 쪽보다 훨씬 빠르게 커지는지, 아니면 일정한 비에 가까워지는지 판단해야 한다.

  • 풀이 1: 분자와 분모를 2n2^n (분모에서 가장 우세한 항이다. 이는 유리식에서 최고차항으로 묶어 내는 것과 같은 생각이다)으로 나누어 보자. bn=en2n+n2(12n12n)=(e2)n1+n22nb_n = \frac{e^n}{2^n+n^2}\left(\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}\right) = \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}} e>2e>2 이므로 e2>1\dfrac{e}{2}>1 이고, 따라서 lim⁡n→∞(e2)n=∞\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty 이다. 지수함수는 다항함수보다 훨씬 빠르게 증가하므로 lim⁡n→∞n22n=0\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}=0 임도 알 수 있다. 따라서 lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(e2)n1+n22n=lim⁡n→∞(e2)n1+0=∞\lim\limits_{n \to \infty}b_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+0} = \infty
  • 풀이 2: 분자와 분모가 모두 한없이 증가하므로 로피탈의 정리를 적용한다. ddx{2x}=2xlog⁡2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\} = 2^x\log 2 임을 상기하자.

lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞en2n+n2⏟num→∞den→∞=lim⁡n→∞en2nlog⁡2+2n⏟num→∞den→∞=lim⁡n→∞en2n(log⁡2)2+2⏟num→∞den→∞=lim⁡n→∞en2n(log⁡2)3=1(log⁡2)3lim⁡n→∞(e2)n=∞\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}b_n&=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\dfrac{e^n}{2^n+n^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\frac{e^n}{2^n\log 2 + 2n}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{e^n}{2^n(\log 2)^2 + 2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{e^n}{2^n(\log 2)^3}\\ &=\frac{1}{(\log 2)^3}\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{e}{2}\right)^n}\\ &=\infty \end{aligned}

e>2e>2 이므로 e2>1\dfrac{e}{2}>1 이고, 따라서 lim⁡n→∞(e2)n=∞\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 수렴과 발산계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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