수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 17번

CLP-2 · 3.1절 · 17번우리말 번역

수열 $b_n=\dfrac{e^n}{2^n+n^2}$ 의 극한을 구하세요.

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Determine the limit of the sequence $b_n=\dfrac{e^n}{2^n+n^2}$ .

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먼저, 분자와 분모가 모두 한없이 커짐에 주목한다. 따라서 한쪽이 다른 쪽보다 훨씬 빠르게 커지는지, 아니면 일정한 비에 가까워지는지 판단해야 한다.

풀이 1: 분자와 분모를 $2^n$ (분모에서 가장 우세한 항이다. 이는 유리식에서 최고차항으로 묶어 내는 것과 같은 생각이다)으로 나누어 보자. $b_n = \frac{e^n}{2^n+n^2}\left(\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}\right) = \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}}$ $e>2$ 이므로 $\dfrac{e}{2}>1$ 이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ 이다. 지수함수는 다항함수보다 훨씬 빠르게 증가하므로 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}=0$ 임도 알 수 있다. 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+0} = \infty$
풀이 2: 분자와 분모가 모두 한없이 증가하므로 로피탈의 정리를 적용한다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\} = 2^x\log 2$ 임을 상기하자.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}b_n&=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\dfrac{e^n}{2^n+n^2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\underbrace{\frac{e^n}{2^n\log 2 + 2n}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to \infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{e^n}{2^n(\log 2)^2 + 2}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{e^n}{2^n(\log 2)^3}\\ &=\frac{1}{(\log 2)^3}\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{e}{2}\right)^n}\\ &=\infty \end{aligned}$

$e>2$ 이므로 $\dfrac{e}{2}>1$ 이고, 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note that both numerator and denominator grow without bound. So, we have to decide whether one outstrips the other, or whether they reach a stable ratio.

Solution 1: Let's try dividing the numerator and denominator by $2^n$ (the dominant term in the denominator; this is the same idea behind factoring out the leading term in rational expressions). $b_n = \frac{e^n}{2^n+n^2}\left(\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}\right) = \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}}$ Since $e>2$ , we see $\dfrac{e}{2}>1$ , and so $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ . Since exponential functions grow much, much faster than polynomial functions, we also see $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}=0$ . So, $\lim\limits_{n \to \infty}b_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+\frac{n^2}{2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e}{2}\right)^n}{1+0} = \infty$
Solution 2: Since the numerator and denominator both increase without bound, we apply l'Hopital's rule. Recall $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\} = 2^x\log 2$ .

Since $e>2$ , we see $\dfrac{e}{2}>1$ , and so $\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{e}{2}\right)^n=\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 14번우리말 번역

수열 $a_n = \dfrac{n^{\sin n}}{n^2}$ 의 극한을 구하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

이 수열의 분모는 한없이 커진다. 분자는 예측하기 어렵다. $n$ 이 크다고 하자. $\sin n$ 이 $-1$ 에 가까우면 $n^{\sin n}$ 은 $n$ 의 거듭제곱이 “분모에 있는” 꼴이 되므로 $n^{\sin n}$ 이 0 에 매우 가까워질 수 있다. $\sin n$ 이 1 에 가까우면 $n^{\sin n}$ 은 $n$ 에 가까우므로 크다.

이러한 변동을 다루기 위해 조임 정리를 사용한다.

모든 $n$ 에 대해 $-1 \leq \sin n \leq 1$ 이므로, $b_n = \frac{n^{-1}}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ 과 $c_n = \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ 이라 하자. 그러면 $b_n \leq a_n \leq c_n$ 이다.
$\lim\limits_{n \to \infty}b_n=0$ 이고 $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=0$ 이다.

따라서 조임 정리에 의해 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^{\sin n}}{n^2}=0$ 이다.

참고: 모든 $n$ 에 대해 $a_n \geq 0$ 이므로 아래쪽 경계로 $b_n=0$ 을 사용할 수도 있었다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산계산보통자동 분류