수열의 수렴과 발산

유리함수의 끝 거동을 구할 때는 지난 학기에 배운 대로, 분자와 분모에서 $n$ 의 최고차항을 약분하거나, 이 단계를 건너뛰고 분자와 분모의 최고차항의 차수를 비교하면 된다.

(a) 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으므로 이 수열은 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산한다. $n$ 이 클 때 항이 양수이므로 극한은 (양의) 무한대이다. (분자가 분모보다 훨씬 더 빠르게 커져서 항의 절댓값이 매우 커진다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} a_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3}\left(\dfrac{\frac1n}{\frac1n}\right)=\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} \\\lim_{n \to \infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+\frac5n}{4+\frac3n} = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3n-2+0}{4+0} = \infty \end{aligned}$$ (b) 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로, $n$ 이 무한대로 갈 때 이 수열은 최고차항의 계수의 비인 $\dfrac{3}{4}$ 로 수렴한다. (분자가 분모와 거의 같은 속도로 커지므로 항이 거의 일정한 비로 안정된다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} b_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right)=\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} \\\lim_{n \to \infty}b_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{3-\frac2n+\frac{5}{n^2}}{4+\frac{3}{n^2}} = \frac{3-0+0}{4+0}=\frac{3}{4} \end{aligned}$$ (c) 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮으므로, $n$ 이 무한대로 갈 때 이 수열은 0 으로 수렴한다. (분모가 분자보다 훨씬 더 빠르게 커져서 항이 매우 작아진다고 생각할 수 있다.)

더 길게 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} c_n &= \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}\left(\dfrac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^3}}\right)=\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} \\\lim_{n \to \infty}c_n &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^3}}{4+\frac{3}{n^3}} = \dfrac{0-0+0}{4+0}=0 \end{aligned}$$