수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 14번

CLP-2 · 3.1절 · 14번우리말 번역

수열 $a_n = \dfrac{n^{\sin n}}{n^2}$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence $a_n = \dfrac{n^{\sin n}}{n^2}$ .

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이 수열의 분모는 한없이 커진다. 분자는 예측하기 어렵다. $n$ 이 크다고 하자. $\sin n$ 이 $-1$ 에 가까우면 $n^{\sin n}$ 은 $n$ 의 거듭제곱이 “분모에 있는” 꼴이 되므로 $n^{\sin n}$ 이 0 에 매우 가까워질 수 있다. $\sin n$ 이 1 에 가까우면 $n^{\sin n}$ 은 $n$ 에 가까우므로 크다.

이러한 변동을 다루기 위해 조임 정리를 사용한다.

모든 $n$ 에 대해 $-1 \leq \sin n \leq 1$ 이므로, $b_n = \frac{n^{-1}}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ 과 $c_n = \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ 이라 하자. 그러면 $b_n \leq a_n \leq c_n$ 이다.
$\lim\limits_{n \to \infty}b_n=0$ 이고 $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=0$ 이다.

따라서 조임 정리에 의해 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^{\sin n}}{n^2}=0$ 이다.

참고: 모든 $n$ 에 대해 $a_n \geq 0$ 이므로 아래쪽 경계로 $b_n=0$ 을 사용할 수도 있었다.

원본 교재 풀이(영어)

The denominator of this sequence grows without bound. The numerator is unpredictable: imagine that $n$ is large. When $\sin n$ is close to $-1$ , $n^{\sin n}$ puts a power of $n$ “in the denominator," so we can have $n^{\sin n}$ very close to 0. When $\sin n$ is close to 1, $n^{\sin n}$ is close to $n$ , which is large.

To control for these variations, we'll use the squeeze theorem.

Since $-1 \leq \sin n \leq 1$ for all $n$ , let $b_n = \frac{n^{-1}}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ and $c_n = \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ . Then $b_n \leq a_n \leq c_n$ .
Both $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=0$ and $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=0$ .

So, by the squeeze theorem, $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^{\sin n}}{n^2}=0$ as well.

Remark: we also could have used $b_n=0$ for our lower bound, since $a_n \geq 0$ for all $n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 15번우리말 번역

수열 $d_n = e^{-1/n}$ 의 극한을 구하세요.

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$\begin{aligned} d_n&=e^{-1/n}=\frac{1}{e^{1/n}}\\ \lim_{n \to \infty }d_n&=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{e^{1/n}} = \frac{1}{e^0}=\frac11=1 \end{aligned}$

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