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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.1절 · 19번우리말 번역

수열 {(−1)nsin⁡(1n)}\Big\{(-1)^n\sin\big(\frac{1}{n}\big)\Big\} 을 생각하세요. 이 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하고, 수렴하면 그 극한을 쓰세요.

영어 원문 보기

Consider the sequence {(−1)nsin⁡(1n)}\Big\{(-1)^n\sin\big(\frac{1}{n}\big)\Big\}. State whether this sequence converges or diverges, and if it converges give its limit.

정답·풀이 보기

lim⁡n→∞(−1)n\lim\limits_{n\to \infty} (-1)^n 은 존재하지 않지만, 모든 nn 에 대해 −1≤(−1)n≤1-1 \leq (-1)^n\leq 1 임에 주목한다. 조임 정리를 사용하자.

  • an=−sin⁡(1n)a_n=-\sin\left(\frac{1}{n}\right), bn=sin⁡(1n)b_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right) 이라 하면 an≤(−1)nsin⁡(1n)≤bna_n\leq (-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq b_n 이다.
  • lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 이고 sin⁡0=0\sin 0=0 이므로, lim⁡n→∞−sin⁡(1n)=0\lim\limits_{n \to \infty} -\sin\left(\frac{1}{n}\right)=0 이고 lim⁡n→∞sin⁡(1n)=0\lim\limits_{n \to \infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right)=0 이다.

조임 정리에 의해 수열 {(−1)nsin⁡1n}\left\{(-1)^n\sin\frac{1}{n}\right\} 은 00 으로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Note lim⁡n→∞(−1)n\lim\limits_{n\to \infty} (-1)^n doesn't exist, but −1≤(−1)n≤1-1 \leq (-1)^n\leq 1 for all nn. Let's use the squeeze theorem.

  • Let an=−sin⁡(1n)a_n=-\sin\left(\frac{1}{n}\right) and bn=sin⁡(1n)b_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right). Then an≤(−1)nsin⁡(1n)≤bna_n\leq (-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq b_n.
  • Both lim⁡n→∞−sin⁡(1n)=0\lim\limits_{n \to \infty} -\sin\left(\frac{1}{n}\right)=0 and lim⁡n→∞sin⁡(1n)=0\lim\limits_{n \to \infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right)=0, since lim⁡n→∞1n=0\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 and sin⁡0=0.\sin 0=0.

By the squeeze theorem, the sequence {(−1)nsin⁡1n}\left\{(-1)^n\sin\frac{1}{n}\right\} converges to 00.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 29번우리말 번역

실수로 이루어진 수열 {an}n=1∞\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty 이 n≥1n\ge 1 에 대해 점화 관계 an+1=an+83a_{n+1} = \dfrac{a_n+8}{3} 을 만족시킨다.

(a) a1=4a_1=4 라 하자. lim⁡n→∞an\lim\limits_{n \to \infty}a_n 을 구하세요. (b) x=x+83x=\dfrac{x+8}{3} 일 때 xx 를 구하세요. (c) a1=1a_1=1 이라 하자. lim⁡n→∞an=L\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = L 임을 보이세요. 여기서 LL 은 위 방정식의 해이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) a1=4a_1=4 일 때 a2=4+83=4a_2=\dfrac{4+8}{3}=4 이고, 이와 같이 계속된다. 즉, 모든 nn 에 대해 an=4a_n=4 이다. 따라서 lim⁡n→∞an=4\lim\limits_{n \to \infty} a_n=4 이다. (b) 양변에 3을 곱하면 3x=x+83x=x+8 이므로 x=4x=4 이다. (c) 수열이 4에 수렴하려면 항들이 한없이 4에 가까워져야 한다. 그래서 an+1−4 a_{n+1}-4 와 an−4 a_n-4 사이의 관계를 구한다.

an+1=an+83an+1−4=an+83−4=an−43\begin{aligned} a_{n+1}&= \frac{a_n+8}{3} \\ a_{n+1}-4&= \frac{a_n+8}{3} -4=\frac{ a_n-4}{3}\\ \end{aligned}

따라서 수열의 항과 수 4 사이의 거리는 항이 하나 늘어날 때마다 3분의 1로 감소한다. 이는 nn 이 커질수록 항들이 한없이 4에 가까워진다는 뜻이다. 즉, lim⁡n→∞an=4\lim\limits_{n \to \infty}a_n=4 이다.

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# 수열의 수렴과 발산계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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