수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 29번

CLP-2 · 3.1절 · 29번우리말 번역

실수로 이루어진 수열 $\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty$ 이 $n\ge 1$ 에 대해 점화 관계 $a_{n+1} = \dfrac{a_n+8}{3}$ 을 만족시킨다.

(a) $a_1=4$ 라 하자. $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ 을 구하세요. (b) $x=\dfrac{x+8}{3}$ 일 때 $x$ 를 구하세요. (c) $a_1=1$ 이라 하자. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = L$ 임을 보이세요. 여기서 $L$ 은 위 방정식의 해이다.

영어 원문 보기

A sequence $\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty$ of real numbers satisfies the recursion relation $a_{n+1} = \dfrac{a_n+8}{3}$ for $n\ge 1$ .

(a) Suppose $a_1=4$ . What is $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ ? (b) Find $x$ if $x=\dfrac{x+8}{3}$ . (c) Suppose $a_1=1$ . Show that $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = L$ , where $L$ is the solution to equation above.

정답·풀이 보기

(a) $a_1=4$ 일 때 $a_2=\dfrac{4+8}{3}=4$ 이고, 이와 같이 계속된다. 즉, 모든 $n$ 에 대해 $a_n=4$ 이다. 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=4$ 이다. (b) 양변에 3을 곱하면 $3x=x+8$ 이므로 $x=4$ 이다. (c) 수열이 4에 수렴하려면 항들이 한없이 4에 가까워져야 한다. 그래서 $a_{n+1}-4$ 와 $a_n-4$ 사이의 관계를 구한다.

$\begin{aligned} a_{n+1}&= \frac{a_n+8}{3} \\ a_{n+1}-4&= \frac{a_n+8}{3} -4=\frac{ a_n-4}{3}\\ \end{aligned}$

따라서 수열의 항과 수 4 사이의 거리는 항이 하나 늘어날 때마다 3분의 1로 감소한다. 이는 $n$ 이 커질수록 항들이 한없이 4에 가까워진다는 뜻이다. 즉, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) When $a_1=4$ , we see $a_2=\dfrac{4+8}{3}=4$ , and so on. That is, $a_n=4$ for every $n$ . So, $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=4$ . (b) Cross-multiplying, we see $3x=x+8$ , hence $x=4$ . (c) In order for our sequence to converge to 4, the terms should be getting infinitely close to 4. So, we find the relationship between $a_{n+1}-4$ and $a_n-4$ .

$\begin{aligned} a_{n+1}&= \frac{a_n+8}{3} \\ a_{n+1}-4&= \frac{a_n+8}{3} -4=\frac{ a_n-4}{3}\\ \end{aligned}$

So, the distance between our sequence terms and the number 4 is decreasing by a factor of 3 each term. This implies that the terms get infinitely close to 4 as $n$ grows. That is, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 28번우리말 번역

수열 $\displaystyle b_n=\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)^n$ 의 극한을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

극한을 그냥 구하려 하면 부정형 $1^{\infty}$ 가 나온다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이나 $\frac{0}{0}$ 꼴이 아니므로 로그를 써야 한다. 또한 로피탈의 정리는 실수에서 정의된 미분가능한 함수에 적용되므로, 수열 대신 함수를 생각한다.

수열의 모든 항이 양수임에 주목한다.

풀이 1: $x=\frac{1}{n}$ , $f(x)=\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}$ 로 정의한다. 그러면 $b_n=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(x)$ 이고, $\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{x \to 0^+}f(x).$ 이 극한이 존재하면 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n$ 과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}f(x)&= \lim_{x \to 0^+} \left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\\ \lim_{x \to 0^+}\log[f(x)]&= \lim_{x \to 0^+} \log\left[\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\right] =\underbrace{ \lim_{x \to 0^+}\frac{ \log\left[1+3x+5x^2 \right]}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{3+10x}{1+3x+5x^2}}{1}=3\\ \lim_{x \to 0^+}f(x)&=e^3 \end{aligned}$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=e^3$ 이다.

풀이 2: $x=\frac{1}{n}$ 로 놓는 간단한 방법을 떠올리지 못했더라도, $g(x)=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^{x}$ 를 이용하여 문제를 풀 수 있다.

$\begin{aligned} g(x)&=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^x\\ \log [g(x)]&= x\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right] =\underbrace{\frac{\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right]}{1/x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ \lim_{x \to \infty} \log[g(x)]&=\lim_{x \to \infty}\dfrac{\frac{-\frac{3}{x^2}-\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x \to \infty}x^2\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty}\frac{3+\frac{10}{x}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \frac{3+0}{1+0+0}=3\\ \lim_{x \to \infty} f(x)&=e^3\end{aligned}$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n =e^3$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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