수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 24번

CLP-2 · 3.1절 · 24번우리말 번역

수열 $\left\{n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]\right\}_{n=1}^{\infty}$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the limit of the sequence $\left\{n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]\right\}_{n=1}^{\infty}$ .

정답·풀이 보기

먼저, 이 극한이 부정형임에 주목한다. $n$ 이 커지면 $2+\frac1n \to 2$ 이므로 $n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]$ 은 $\infty \cdot 0$ 꼴이다. 이 어려움을 해결하기 위해 약간의 대수적 계산과 로피탈 정리를 쓸 수도 있지만, 더 깔끔한 방법이 있다. $h = \frac{1}{n}$ 로 놓으면 $n\to\infty$ 일 때 $h \to 0$ 이고, 구하는 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]&= \lim_{h \to 0}\frac{\left(2+h\right)^{100}-2^{100}}{h} \\ \text{이것은 미분계수의 정의를 떠올리게 한다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{100}\right\}&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{100}-x^{100}}{h} \end{aligned}$

따라서 $f(x)=x^{100}$ 으로 놓으면 구하는 극한은 곧 $f'(2)$ 이다. 즉 $\left[100x^{99}\right]_{x=2}= 100\cdot 2^{99}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note that we have in indeterminate form: as $n$ grows, $2+\frac1n \to 2$ , so $n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]$ has the form $\infty \cdot 0$ . To overcome this difficulty, we could use some algebra and l'Hopital's rule, but there's a slicker way. If we let $h = \frac{1}{n}$ , then $h \to 0$ as $n\to\infty$ , and our limit looks like:

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]&= \lim_{h \to 0}\frac{\left(2+h\right)^{100}-2^{100}}{h} \\ \text{This reminds us of the definition of a derivative.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{100}\right\}&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{100}-x^{100}}{h} \end{aligned}$

So, if we set $f(x)=x^{100}$ , our limit is simply $f'(2)$ . That is, $\left[100x^{99}\right]_{x=2}= 100\cdot 2^{99}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\right]$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

먼저, 이 수열은 $n$ 이 작은 일부 값에서는 정의되지 않지만 $n \geq 5$ 이면 정의되므로, $n \to \infty$ 일 때의 극한을 취하는 데에는 문제가 없다. 둘째, 이 극한은 $\infty-\infty$ 꼴의 부정형이다. 이 꼴은 부정형이므로, 극한이 존재한다면 그 값을 구하기 위해 더 계산해야 한다.

지난 학기에 이런 꼴의 함수에서 보았던 대표적인 방법은 식의 켤레식 $\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}$ 을 곱하고 나누는 것이다. 그러면 분모는 비슷한 두 항의 차가 아니라 합이 된다. 이것이 왜 도움이 되는지는 아래 계산을 보면 알 수 있다.

$\begin{aligned} \sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}&=\big(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\big)\left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\right)\\ &=\frac{(n^2+5n)-(n^2-5n)}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}} \\ \text{이제 분자와 분모에서 $n$ 을 약분한다. $n=\sqrt{n^2}$ 임에 주의한다.} \\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac1n}\right)\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}}\right)\\ &=\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}} \\ \text{이제 극한이 분명하다.} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}}&=\frac{10}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{10}{1+1}=5 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산계산도전자동 분류