수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 26번

CLP-2 · 3.1절 · 26번우리말 번역

$\{A_n\}_{n=3}^\infty$ 을 변이 $n$ 개인 정다각형의 넓이라 하자. 다각형의 무게중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 1이다.

(a) 다각형을 $n$ 개의 삼각형으로 나누어 $A_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\{A_n\}_{n=3}^\infty$ be the area of a regular polygon with $n$ sides, with the distance from the centroid of the polygon to each corner equal to 1.

(a) By dividing the polygon into $n$ triangles, give a formula for $A_n$ . (b) What is $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ ?

정답·풀이 보기

(a) 넓이 $A_n$ 을 구하기 위해, 변이 $n$ 개인 도형을 $n$ 개의 이등변삼각형으로 나눌 수 있음에 주목한다. 각 삼각형은 길이가 1인 두 변과 그 사이의 각 $\frac{2\pi}{n}$ 를 가진다.

이 삼각형 하나의 넓이는 각각 $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

모두 합하면 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

(b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ 은 $\infty \times 0$ 꼴의 부정형이며, 이를 구하는 두 가지 방법을 살펴본다.

먼저, $n \to \infty$ 일 때 도형은 점점 반지름이 1인 원에 가까워진다. 따라서 $A_n$ 은 반지름이 1인 원의 넓이에 가까워진다. 즉 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ 이다.

다른 방법으로, 극한 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 을 이용할 수 있다. $x=\frac{2\pi}{n}$ 라 하자. $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 임에 주목한다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) To find the area $A_n$ , note that the figure with $n$ sides can be divided up into $n$ isosceles triangles, each with two sides of length 1 and angle between them of $\frac{2\pi}{n}$ :

Each of these triangles has area $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ :

All together, the area of the $n$ -sided figure is $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ .

(b) We will discuss two ways to find $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ , which has the indeterminate form $\infty \times 0$ .

First, note that as $n \to \infty$ , our figures look more and more like a circle of radius 1. So, we see $A_n$ is approaching the area of a circle of radius 1. That is, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ .

Alternately, we can make use of the limit $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Let $x=\frac{2\pi}{n}$ . Note if $n \to \infty$ , then $x \to 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 24번우리말 번역

수열 $\left\{n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]\right\}_{n=1}^{\infty}$ 의 극한을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저, 이 극한이 부정형임에 주목한다. $n$ 이 커지면 $2+\frac1n \to 2$ 이므로 $n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]$ 은 $\infty \cdot 0$ 꼴이다. 이 어려움을 해결하기 위해 약간의 대수적 계산과 로피탈 정리를 쓸 수도 있지만, 더 깔끔한 방법이 있다. $h = \frac{1}{n}$ 로 놓으면 $n\to\infty$ 일 때 $h \to 0$ 이고, 구하는 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]&= \lim_{h \to 0}\frac{\left(2+h\right)^{100}-2^{100}}{h} \\ \text{이것은 미분계수의 정의를 떠올리게 한다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{100}\right\}&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{100}-x^{100}}{h} \end{aligned}$

따라서 $f(x)=x^{100}$ 으로 놓으면 구하는 극한은 곧 $f'(2)$ 이다. 즉 $\left[100x^{99}\right]_{x=2}= 100\cdot 2^{99}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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