수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 27번

CLP-2 · 3.1절 · 27번우리말 번역

상수 $x$ 에 따라 정해지는 수열 $\{f_n\}$ 을 다음과 같이 정의한다고 하자. $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$ 고정된 상수 $x \ge 1$ 에 대해 $\{f_n\}$ 은 수열 $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ 이다. 0이 아닌 유일한 항은 $k$ 번째 자리에 있으며, 여기서 $k$ 는 $x$ 를 0 이상의 정수로 내림한 값이다. $x<1$ 이면 이 수열은 모든 항이 0이다.

$x$ 에 서로 다른 값을 대입할 수 있으므로, $f_n(x)$ 를 수열을 대응시키는 함수로 생각할 수 있다. 즉 $x$ 가 다르면 수열이 달라진다. 한편 $n$ 을 고정한다고 생각하면 $f_n(x)$ 는 그냥 함수이며, $f_n(x)$ 는 $x$ 에 대응하는 수열의 $n$ 번째 항이다.

(a) 곡선 $y=f_2(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 곡선 $y=f_3(x)$ 의 그래프를 그리세요. (c) $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라고 정의하자. 수열 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 을 간단히 설명하세요. (d) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ 의 값을 구하세요. (e) 상수 $x$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ 의 값을 구하고, 그 결과를 $g(x)$ 라고 하세요. (f) $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we define a sequence $\{f_n\}$ , which depends on some constant $x$ , as the following: $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{else} \end{cases}$ For a fixed constant $x \ge 1$ , $\{f_n\}$ is the sequence $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ . The sole nonzero element comes in position $k$ , where $k$ is what we get when we round $x$ down to a whole number. If $x<1$ , then the sequence consists of all zeroes.

Since we can plug in different values of $x$ , we can think of $f_n(x)$ as a function of sequences: a different $x$ gives you a different sequence. On the other hand, if we imagine fixing $n$ , then $f_n(x)$ is just a function, where $f_n(x)$ gives the $n$ th term in the sequence corresponding to $x$ .

(a) Sketch the curve $y=f_2(x)$ . (b) Sketch the curve $y=f_3(x)$ . (c) Define $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ . Give a simple description of the sequence $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ . (d) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ . (e) Evaluate $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ for a constant $x$ , and call the result $g(x)$ . (f) Evaluate $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

그러면 모든 $n$ 에 대해 $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ 이다. 즉 수열 $\{A_n\}$ 은 $\{1,1,\ldots,1\}$ , 곧 모든 항이 1인 수열이다. (d) 위의 설명에 따라 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ 이다. (e) 고정된 $x$ 에 대해 $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ 임을 떠올리자. 특히 이 수열의 끝에는 0이 무한히 많이 있다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ 이다. 그러면 모든 $x$ 에 대해 $g(x)=0$ 이다. (f) 위의 설명에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 지금까지 보인 것은, 이 특정한 $f_n(x)$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라는 사실이다. 즉 극한과 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아니다(이 경우 적분은 이상적분이므로 적분 자체가 또 하나의 극한이다). 이 둘의 순서를 바꿀 수 있는 조건이 궁금한 독자는 “균등수렴”을 찾아보기 바란다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

(c) For any $n$ , $f_n(x)=1$ for an interval of length 1, and $f_n(x)=0$ for all other $x$ . So, the area under the curve is a square of side length one.

Then $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ for all $n$ . That is, the sequence $\{A_n\}$ is simply $\{1,1,\ldots,1\}$ , a sequence of all 1s. (d) Given the description above, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ . (e) For any fixed $x$ , recall $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ . In particular, there are infinitely many zeroes at its end. So, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ . Then $g(x)=0$ for every $x$ . (f) Given the description above, $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ .

Remark: what we've shown here is that, for this particular $f_n(x)$ , $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ That is, we can't necessarily swap a limit with an integral (which is, in this case, another limit, since the integral is improper). The interested reader can look up “uniform convergence" to learn about the conditions under which these can be swapped.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 26번우리말 번역

$\{A_n\}_{n=3}^\infty$ 을 변이 $n$ 개인 정다각형의 넓이라 하자. 다각형의 무게중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 1이다.

(a) 다각형을 $n$ 개의 삼각형으로 나누어 $A_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) $\lim\limits_{n \to \infty} A_n$ 은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 넓이 $A_n$ 을 구하기 위해, 변이 $n$ 개인 도형을 $n$ 개의 이등변삼각형으로 나눌 수 있음에 주목한다. 각 삼각형은 길이가 1인 두 변과 그 사이의 각 $\frac{2\pi}{n}$ 를 가진다.

이 삼각형 하나의 넓이는 각각 $\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

모두 합하면 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \displaystyle\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 이다.

(b) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$ 은 $\infty \times 0$ 꼴의 부정형이며, 이를 구하는 두 가지 방법을 살펴본다.

먼저, $n \to \infty$ 일 때 도형은 점점 반지름이 1인 원에 가까워진다. 따라서 $A_n$ 은 반지름이 1인 원의 넓이에 가까워진다. 즉 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n = \pi$ 이다.

다른 방법으로, 극한 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 을 이용할 수 있다. $x=\frac{2\pi}{n}$ 라 하자. $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 임에 주목한다.

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}A_n&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{\frac{2\pi}{n}}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ &=\lim_{x \to 0}\pi\frac{\sin x}{x} =\pi\times 1=\pi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류