수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 28번

CLP-2 · 3.1절 · 28번우리말 번역

수열 $\displaystyle b_n=\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)^n$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence $\displaystyle b_n=\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)^n$ .

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정답·풀이 보기

극한을 그냥 구하려 하면 부정형 $1^{\infty}$ 가 나온다. 로피탈의 정리를 쓰고 싶지만 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이나 $\frac{0}{0}$ 꼴이 아니므로 로그를 써야 한다. 또한 로피탈의 정리는 실수에서 정의된 미분가능한 함수에 적용되므로, 수열 대신 함수를 생각한다.

수열의 모든 항이 양수임에 주목한다.

풀이 1: $x=\frac{1}{n}$ , $f(x)=\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}$ 로 정의한다. 그러면 $b_n=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(x)$ 이고, $\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{x \to 0^+}f(x).$ 이 극한이 존재하면 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n$ 과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+}f(x)&= \lim_{x \to 0^+} \left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\\ \lim_{x \to 0^+}\log[f(x)]&= \lim_{x \to 0^+} \log\left[\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}\right] =\underbrace{ \lim_{x \to 0^+}\frac{ \log\left[1+3x+5x^2 \right]}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ &=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{3+10x}{1+3x+5x^2}}{1}=3\\ \lim_{x \to 0^+}f(x)&=e^3 \end{aligned}$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=e^3$ 이다.

풀이 2: $x=\frac{1}{n}$ 로 놓는 간단한 방법을 떠올리지 못했더라도, $g(x)=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^{x}$ 를 이용하여 문제를 풀 수 있다.

$\begin{aligned} g(x)&=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^x\\ \log [g(x)]&= x\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right] =\underbrace{\frac{\log\left[1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right]}{1/x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}}\\ \lim_{x \to \infty} \log[g(x)]&=\lim_{x \to \infty}\dfrac{\frac{-\frac{3}{x^2}-\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x \to \infty}x^2\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{10}{x^3}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty}\frac{3+\frac{10}{x}}{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}} = \frac{3+0}{1+0+0}=3\\ \lim_{x \to \infty} f(x)&=e^3\end{aligned}$

극한이 존재하므로 $\lim\limits_{n \to \infty} b_n =e^3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If we naively try to find the limit, we run up against the indeterminate form $1^{\infty}$ . We'd like to use l'Hopital's rule, but we don't have the form $\frac{\infty}{\infty}$ or $\frac{0}{0}$ –we'll need to use a logarithm. Additionally, l'Hopital's rule applies to differentiable functions defined for real numbers–so we'll consider a function, rather than the sequence.

Note the terms of the sequence are all positive.

Solution 1: Define $x=\frac{1}{n}$ , and $f(x)=\left(1+3x+5x^2\right)^{1/x}$ . Then $b_n=f\left(\frac{1}{n}\right)=f(x)$ , and $\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{x \to 0^+}f(x).$ If this limit exists, it is equal to $\lim\limits_{n \to \infty}b_n$ .

Since the limit exists, $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=e^3$ .

Solution 2: If we didn't see the nice simplifying trick of letting $x=\frac{1}{n}$ , we can still solve the problem using $g(x)=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)^{x}$ :

Since the limit exists, $\lim\limits_{n \to \infty} b_n =e^3$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 27번우리말 번역

상수 $x$ 에 따라 정해지는 수열 $\{f_n\}$ 을 다음과 같이 정의한다고 하자. $f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$ 고정된 상수 $x \ge 1$ 에 대해 $\{f_n\}$ 은 수열 $\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}$ 이다. 0이 아닌 유일한 항은 $k$ 번째 자리에 있으며, 여기서 $k$ 는 $x$ 를 0 이상의 정수로 내림한 값이다. $x<1$ 이면 이 수열은 모든 항이 0이다.

$x$ 에 서로 다른 값을 대입할 수 있으므로, $f_n(x)$ 를 수열을 대응시키는 함수로 생각할 수 있다. 즉 $x$ 가 다르면 수열이 달라진다. 한편 $n$ 을 고정한다고 생각하면 $f_n(x)$ 는 그냥 함수이며, $f_n(x)$ 는 $x$ 에 대응하는 수열의 $n$ 번째 항이다.

(a) 곡선 $y=f_2(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 곡선 $y=f_3(x)$ 의 그래프를 그리세요. (c) $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라고 정의하자. 수열 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 을 간단히 설명하세요. (d) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$ 의 값을 구하세요. (e) 상수 $x$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ 의 값을 구하고, 그 결과를 $g(x)$ 라고 하세요. (f) $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f_2(x) = \begin{cases} 1 & 2 \leq x < 3\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

(b) $f_3(x) = \begin{cases} 1 & 3 \leq x < 4\\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

그러면 모든 $n$ 에 대해 $A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=1$ 이다. 즉 수열 $\{A_n\}$ 은 $\{1,1,\ldots,1\}$ , 곧 모든 항이 1인 수열이다. (d) 위의 설명에 따라 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=1$ 이다. (e) 고정된 $x$ 에 대해 $\{f_n(x)\} = \{0,\ldots,0,1,0,\ldots 0,0,0,0,0,\ldots\}$ 임을 떠올리자. 특히 이 수열의 끝에는 0이 무한히 많이 있다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ 이다. 그러면 모든 $x$ 에 대해 $g(x)=0$ 이다. (f) 위의 설명에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}0\,\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 지금까지 보인 것은, 이 특정한 $f_n(x)$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}x \neq \int_0^{\infty}\lim_{n \to \infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x$ 라는 사실이다. 즉 극한과 적분의 순서를 항상 바꿀 수 있는 것은 아니다(이 경우 적분은 이상적분이므로 적분 자체가 또 하나의 극한이다). 이 둘의 순서를 바꿀 수 있는 조건이 궁금한 독자는 “균등수렴”을 찾아보기 바란다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산계산도전자동 분류