급수의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.2절 · 29번

CLP-2 · 3.2절 · 29번우리말 번역

무한히 긴 평평한 절벽에 질량을 무시할 수 있는 가는 철사에 매달린 돌들이 있다. 위치 $x=1$ 에서 시작하여, 1미터마다(위치 $x$ 에서, 여기서 $x$ 는 0 이상의 정수) 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 절벽 꼭대기에서 $2^x$ 미터 아래에 매달려 있다.

영어 원문 보기

An infinitely long, flat cliff has stones hanging off it, attached to thin wire of negligible mass. Starting at position $x=1$ , every metre (at position $x$ , where $x$ is some whole number) the stone has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg and is hanging $2^x$ metres below the top of the cliff.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

위치 $x$ 에 있는 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 이 돌을 $2^x$ 미터만큼 끌어올려야 하므로, 돌 하나를 옮기는 데 필요한 일은 $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ 이다. 따라서 모든 돌을 옮기는 데 필요한 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The stone at position $x$ has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg, and we have to pull it a distance of $2^x$ metres, so the work involved in moving that one stone is $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ Therefore, the work to move all the stones is:

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그림에서 점선 경로의 전체 길이를 구하세요.

제1사분면에 꼭짓점이 (1, 1), (0, 0), (1, 0)인 삼각형이 그려져 있다. 지그재그 선은 (0.5, 0)에서 시작하여 빗변의 중점으로 가고, 그 점과 세로 변 사이의 중점으로 간 다음, 빗변의 위쪽 절반의 중점으로 가고, 다시 그 점과 수직인 변 사이의 중점으로 가는 식으로 위쪽 꼭짓점에 수렴할 때까지 계속된다.

다 풀었으면 정답 확인

$L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=\frac{3}{2}.$

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류