멱급수와 수렴 반경

$f(x)$ 는 적분한 함수를 미분하거나, 도함수를 부정적분하여 구할 수 있다. 후자의 경우에는 임의의 적분상수를 구해야 하지만, 전자의 경우에는 그럴 필요가 없다. (서로 다른 많은 함수가 같은 도함수를 가질 수 있지만, 하나의 함수는 도함수를 하나만 가진다는 점을 기억하자.) 임의의 상수를 구해야 하는 번거로움을 피하기 위해, $f'(x)$ 에 대해 주어진 식은 무시할 수 있으며, 그러면 문제가 훨씬 간단해진다. 이것이 풀이 1에서 사용한 방법이다.

• 풀이 1 미적분학의 기본정리 제1부분을 이용하면:

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{\int_5^x f(t)\mathrm{d}t \right\}&=f(x)\\ \text{따라서,}\qquad f(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{3x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2} \right\}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)(x-1)^{n}}{n(n+1)^2}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)} \end{aligned}$$

• 풀이 2 대신 $f'(x)$ 를 사용했다고 하자. 부정적분하여 구하면 다음과 같다:

$$\begin{aligned} f(x)&=\int \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n+2} \right)\mathrm{d}x\\ &=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)(n+2)}\right)+C\\ &=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)}\right)+C \end{aligned}$$

$f(1)=0+C$ 임에 주목하자. 따라서 $C$ 를 구하려면 $f(1)$ 을 구해야 한다. 이 정보는 $f'(x)$ 로부터 얻을 수 없으므로, $\int_5^x f(t)\mathrm{d}t$ 에 대해 주어진 식을 이용하는 수밖에 없다. 미적분학의 기본정리 제1부분을 이용하면:

$$\begin{aligned} f(1)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\int_5^x f(t)\mathrm{d}t \right\}\right|_{x=1}\\ &=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ 3x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2} \right\}\right|_{x=1}\\ &=\left[ 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)(x-1)^{n}}{n(n+1)^2} \right]_{x=1}\\ &=\left[ 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)} \right]_{x=1}\\ &= 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{0^{n}}{n(n+1)}\\ &=3 \end{aligned}$$

따라서 $f(x)=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)}$ 이다.

풀이 2에서는 풀이 1과 같은 계산을 하고, 그 이상의 계산까지 했음에 주목하자.