멱급수와 수렴 반경 연습문제 — CLP-2 · 3.5절 · 17번

CLP-2 · 3.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

$f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n+2}$ 이고, $\displaystyle \int_5^x f(t)\mathrm{d}t=3x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2}$ 이라고 하자.

$f(x)$ 의 거듭제곱급수 표현을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n+2}$ , and $\displaystyle \int_5^x f(t)\mathrm{d}t=3x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2}$ .

Give a power series representation of $f(x)$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 적분한 함수를 미분하거나, 도함수를 부정적분하여 구할 수 있다. 후자의 경우에는 임의의 적분상수를 구해야 하지만, 전자의 경우에는 그럴 필요가 없다. (서로 다른 많은 함수가 같은 도함수를 가질 수 있지만, 하나의 함수는 도함수를 하나만 가진다는 점을 기억하자.) 임의의 상수를 구해야 하는 번거로움을 피하기 위해, $f'(x)$ 에 대해 주어진 식은 무시할 수 있으며, 그러면 문제가 훨씬 간단해진다. 이것이 풀이 1에서 사용한 방법이다.

풀이 1 미적분학의 기본정리 제1부분을 이용하면:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{\int_5^x f(t)\mathrm{d}t \right\}&=f(x)\\ \text{따라서,}\qquad f(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{3x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2} \right\}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)(x-1)^{n}}{n(n+1)^2}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)} \end{aligned}$

풀이 2 대신 $f'(x)$ 를 사용했다고 하자. 부정적분하여 구하면 다음과 같다:

$\begin{aligned} f(x)&=\int \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n+2} \right)\mathrm{d}x\\ &=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)(n+2)}\right)+C\\ &=\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)}\right)+C \end{aligned}$

$f(1)=0+C$ 임에 주목하자. 따라서 $C$ 를 구하려면 $f(1)$ 을 구해야 한다. 이 정보는 $f'(x)$ 로부터 얻을 수 없으므로, $\int_5^x f(t)\mathrm{d}t$ 에 대해 주어진 식을 이용하는 수밖에 없다. 미적분학의 기본정리 제1부분을 이용하면:

$\begin{aligned} f(1)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\int_5^x f(t)\mathrm{d}t \right\}\right|_{x=1}\\ &=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ 3x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2} \right\}\right|_{x=1}\\ &=\left[ 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)(x-1)^{n}}{n(n+1)^2} \right]_{x=1}\\ &=\left[ 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)} \right]_{x=1}\\ &= 3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{0^{n}}{n(n+1)}\\ &=3 \end{aligned}$

따라서 $f(x)=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)}$ 이다.

풀이 2에서는 풀이 1과 같은 계산을 하고, 그 이상의 계산까지 했음에 주목하자.

원본 교재 풀이(영어)

We can find $f(x)$ by differentiating its integral, or antidifferentiating its derivative. In the latter case, we'll have to solve for the arbitrary constant of integration; in the former case, we do not. (Remember that many different functions have the same derivative, but a single function has only one derivative.) To avoid the necessity of finding the arbitrary constant, we can ignore the given equation for $f'(x)$ , which makes the problem much simpler. This is the method used in Solution 1.

Solution 1 Using the Fundamental Theorem of Calculus Part 1:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{\int_5^x f(t)\mathrm{d}t \right\}&=f(x)\\ \text{So,}\qquad f(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{3x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2} \right\}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)(x-1)^{n}}{n(n+1)^2}\\ &=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)} \end{aligned}$

Solution 2 Suppose we had used $f'(x)$ instead. We would antidifferentiate to find:

Notice $f(1)=0+C$ . So, to find $C$ , we must find $f(1)$ . We can't get that information from $f'(x)$ , so our only option is to consider the given formula for $\int_5^x f(t)\mathrm{d}t$ . Using the Fundamental Theorem of Calculus Part 1:

So, $f(x)=3+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n(n+1)}$ .

Note that in Solution 2, we did the same calculation as Solution 1, and more.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.5절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ 의 값을 구하세요.

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$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ 은 $f(x)=\displaystyle \sum_{n=3}^\infty n\cdot x^{n-1}$ 에 $x=\dfrac15$ 을 대입한 값임을 알 수 있다. 먼저 $f(x)$ 를 (거듭제곱급수 꼴이 아닌) 식의 꼴로 나타내야 한다. 이것은 등비급수 $\displaystyle\sum x^n$ 의 도함수와 비슷하게 생겼음에 주목하자.

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n \qquad \text{$|x|<1$ 일 때}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-x}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sum_{n=0}^\infty x^n\right\}\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1x^0 + 2x^1+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1 + 2x+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{따라서,}\qquad \frac{1}{(1-x)^2}-1-2x&=\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{$x=\dfrac15$ 을 대입하면:}\qquad \frac{1}{(1-1/5)^2}-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty n\left(\frac15\right)^{n-1}\\ \left(\frac{5}{4} \right)^2-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}\\ \end{aligned}$

따라서 주어진 급수의 값은 $\displaystyle\frac{25}{16}-1-\frac{2}{5}=\frac{13}{80}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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