멱급수와 수렴 반경 연습문제 — CLP-2 · 3.5절 · 25번

CLP-2 · 3.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ .

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$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ 은 $f(x)=\displaystyle \sum_{n=3}^\infty n\cdot x^{n-1}$ 에 $x=\dfrac15$ 을 대입한 값임을 알 수 있다. 먼저 $f(x)$ 를 (거듭제곱급수 꼴이 아닌) 식의 꼴로 나타내야 한다. 이것은 등비급수 $\displaystyle\sum x^n$ 의 도함수와 비슷하게 생겼음에 주목하자.

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n \qquad \text{$|x|<1$ 일 때}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-x}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sum_{n=0}^\infty x^n\right\}\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1x^0 + 2x^1+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1 + 2x+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{따라서,}\qquad \frac{1}{(1-x)^2}-1-2x&=\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{$x=\dfrac15$ 을 대입하면:}\qquad \frac{1}{(1-1/5)^2}-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty n\left(\frac15\right)^{n-1}\\ \left(\frac{5}{4} \right)^2-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}\\ \end{aligned}$

따라서 주어진 급수의 값은 $\displaystyle\frac{25}{16}-1-\frac{2}{5}=\frac{13}{80}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We recognize $\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}$ as $f(x)=\displaystyle \sum_{n=3}^\infty n\cdot x^{n-1}$ , evaluated at $x=\dfrac15$ . We should figure out what $f(x)$ is in equation form (as opposed to power series form). Notice that this looks similar to the derivative of the geometric series $\displaystyle\sum x^n$ .

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n \qquad \text{when $|x|<1$}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-x}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sum_{n=0}^\infty x^n\right\}\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1x^0 + 2x^1+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ &= 1 + 2x+\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{So,}\qquad \frac{1}{(1-x)^2}-1-2x&=\sum_{n=3}^\infty nx^{n-1}\\ \text{Setting $x=\dfrac15$:}\qquad \frac{1}{(1-1/5)^2}-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty n\left(\frac15\right)^{n-1}\\ \left(\frac{5}{4} \right)^2-1-\frac25&=\sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}\\ \end{aligned}$

So, our series evaluates to $\displaystyle\frac{25}{16}-1-\frac{2}{5}=\frac{13}{80}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.5절 · 24번우리말 번역

$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n$ 이라 하자. 여기서 $c$ 는 어떤 상수이고 $\{A_n\}$ 은 상수로 이루어진 수열이다. 또한 $f(x)$ 는 양의 수렴 반지름을 갖는다고 하자.

$A_1=0$ 이면 $y=f(x)$ 가 $x=c$ 에서 임계점을 가짐을 보이세요. 그 점에서 그래프의 모양과 $A_2$ 의 값 사이에는 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 미분한다.

$\begin{aligned} f(x)&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n\\ f'(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ f'(c)&=\sum_{n=1}^\infty nA_n\cdot 0^{n-1}\\ &=A_1\cdot 1 + 2A_2\cdot0+3A_3\cdot0+\cdots\\ &=A_1 \end{aligned}$

따라서 $A_1=0$ 이면 $f'(c)=0$ 이다. 즉, $f(x)$ 는 $x=c$ 에서 임계점을 갖는다.

이 임계점에서의 그래프의 모양을 알아보기 위해 이계도함수 판정법을 이용한다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}nA_n(x-c)^{n-1}\\ f''(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)A_n(x-c)^{n-2}\\ &=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)A_n(x-c)^{n-2}\\ f''(c)&=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)A_n\cdot 0^{n-2}\\ &=2(1)A_2\cdot 0^0+3(2)A_3\cdot 0^1+4(3)A_4\cdot 0^2+\cdots\\ &=2A_2 \end{aligned}$

이계도함수 판정법에 따라, $A_2<0$ 이면 $x=c$ 는 극댓값을 갖는 위치이고, $A_2>0$ 이면 극솟값을 갖는 위치이다. ( $A_2=0$ 이면 그 임계점은 극값일 수도 있고 아닐 수도 있다.)

이 문제로 이어서 풀기

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