공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 4번

CLP-3 · 1.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

$A$ 를 점 $(2,1,3)$ 이라 하자.

(a) $A$ 에서 $xy$ 평면까지의 거리를 구하세요. (b) $A$ 에서 $xz$ 평면까지의 거리를 구하세요. (c) $A$ 에서 $x$ 축 위의 점 $(x,0,0)$ 까지의 거리를 구하세요. (d) $x$ 축 위의 점 중 $A$ 에 가장 가까운 점을 구하세요. (e) $A$ 에서 $x$ 축까지의 거리는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $A$ be the point $(2,1,3)$ .

(a) Find the distance from $A$ to the $xy$ -plane. (b) Find the distance from $A$ to the $xz$ -plane. (c) Find the distance from $A$ to the point $(x,0,0)$ on the $x$ -axis. (d) Find the point on the $x$ -axis that is closest to $A$ . (e) What is the distance from $A$ to the $x$ -axis?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

(a) 임의의 점의 $z$ 좌표는 그 점에서 $xy$ 평면까지의 부호 있는 거리이다. 따라서 $(2,1,3)$ 에서 $xy$ 평면까지의 거리는 $|3|=3$ 이다.

(b) 임의의 점의 $y$ 좌표는 그 점에서 $xz$ 평면까지의 부호 있는 거리이다. 따라서 $(2,1,3)$ 에서 $xz$ 평면까지의 거리는 $|1|=1$ 이다.

$\sqrt{(2-x)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 10}$

이다.

(d) $(x-2)^2\ge 0$ 이므로 거리 $\sqrt{(x-2)^2 + 10}$ 은 $x=2$ 일 때 최소이다. 다른 방법으로,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sqrt{(x-2)^2 + 10} =\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 10}} =0 &\iff x=2 \end{aligned}$

이다. 따라서 $x$ 축 위의 점 중 $A$ 에 가장 가까운 점은 $(2,0,0)$ 이다.

(e) $(2,0,0)$ 이 $x$ 축 위의 점 중 $(2,1,3)$ 에 가장 가까운 점이므로, $A$ 에서 $x$ 축까지의 거리는

$\sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The $z$ coordinate of any point is the signed distance from the point to the $xy$ -plane. So the distance from $(2,1,3)$ to the $xy$ -plane is $|3|=3$ .

(b) The $y$ coordinate of any point is the signed distance from the point to the $xz$ -plane. So the distance from $(2,1,3)$ to the $xz$ -plane is $|1|=1$ .

$\sqrt{(2-x)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 10}$

(d) Since $(x-2)^2\ge 0$ , the distance $\sqrt{(x-2)^2 + 10}$ is minimized when $x=2$ . Alternatively,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sqrt{(x-2)^2 + 10} =\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 10}} =0 &\iff x=2 \end{aligned}$

So the point on the $x$ -axis that is closest to $A$ is $(2,0,0)$ .

(e) As $(2,0,0)$ is the point on the $x$ -axis that is nearest $(2,1,3)$ , the distance from $A$ to the $x$ -axis is

$\sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 5번우리말 번역

임의의 삼각형을 생각하자. 한 꼭짓점이 원점에 있고 두 번째 꼭짓점이 양의 $x$ 축 위에 있도록 좌표계를 잡는다. 두 번째 꼭짓점의 좌표를 $(a,0)$ , 세 번째 꼭짓점의 좌표를 $(b,c)$ 라 하자. 외접원(세 꼭짓점을 모두 지나는 원)을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

외접원의 중심을 $(\bar x,\bar y)$ 라 하자. 이 중심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어야 한다. 따라서

$\bar x^2+\bar y^2=(\bar x-a)^2+\bar y^2=(\bar x-b)^2+(\bar y-c)^2$

이고, 같은 세 식에서 각각 $\bar x^2+\bar y^2$ 을 빼면

$0=a^2-2a\bar x=b^2-2b\bar x+c^2-2c\bar y$

이다. 이로부터

$\bar x=\frac{a}{2}\qquad\qquad \bar y =\frac{b^2+c^2-2b\bar x}{2c}=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}$

를 얻는다.

반지름은 꼭짓점 $(0,0)$ 에서 중심 $(\bar x,\bar y)$ 까지의 거리이므로 $\sqrt{\big(\frac{a}{2}\big)^2+\big(\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\big)^2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 공간좌표계산기본자동 분류