공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 5번

CLP-3 · 1.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

임의의 삼각형을 생각하자. 한 꼭짓점이 원점에 있고 두 번째 꼭짓점이 양의 $x$ 축 위에 있도록 좌표계를 잡는다. 두 번째 꼭짓점의 좌표를 $(a,0)$ , 세 번째 꼭짓점의 좌표를 $(b,c)$ 라 하자. 외접원(세 꼭짓점을 모두 지나는 원)을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider any triangle. Pick a coordinate system so that one vertex is at the origin and a second vertex is on the positive $x$ –axis. Call the coordinates of the second vertex $(a,0)$ and those of the third vertex $(b,c)$ . Find the circumscribing circle (the circle that goes through all three vertices).

정답·풀이 보기

외접원의 중심을 $(\bar x,\bar y)$ 라 하자. 이 중심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있어야 한다. 따라서

$\bar x^2+\bar y^2=(\bar x-a)^2+\bar y^2=(\bar x-b)^2+(\bar y-c)^2$

이고, 같은 세 식에서 각각 $\bar x^2+\bar y^2$ 을 빼면

$0=a^2-2a\bar x=b^2-2b\bar x+c^2-2c\bar y$

이다. 이로부터

$\bar x=\frac{a}{2}\qquad\qquad \bar y =\frac{b^2+c^2-2b\bar x}{2c}=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}$

를 얻는다.

반지름은 꼭짓점 $(0,0)$ 에서 중심 $(\bar x,\bar y)$ 까지의 거리이므로 $\sqrt{\big(\frac{a}{2}\big)^2+\big(\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\big)^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Call the centre of the circumscribing circle $(\bar x,\bar y)$ . This centre must be equidistant from the three vertices. So

$\bar x^2+\bar y^2=(\bar x-a)^2+\bar y^2=(\bar x-b)^2+(\bar y-c)^2$

or, subtracting $\bar x^2+\bar y^2$ from the three equal expressions,

$0=a^2-2a\bar x=b^2-2b\bar x+c^2-2c\bar y$

which implies

$\bar x=\frac{a}{2}\qquad\qquad \bar y =\frac{b^2+c^2-2b\bar x}{2c}=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}$

The radius is the distance from the vertex $(0,0)$ to the centre $(\bar x,\bar y)$ , which is $\sqrt{\big(\frac{a}{2}\big)^2+\big(\frac{b^2+c^2-ab}{2c}\big)^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.2절 · 19번우리말 번역

$P(-2,5,-8)$ 과 $M(1,-7,4)$ , 여기서 $M$ 은 선분 $PQ$ 의 중점이다.

다 풀었으면 정답 확인

a. $\vec{PQ}=\langle 6,-24,24\rangle ;$ b. $\vec{PQ}=6\text{i}-24\text{j}+24\text{k}$

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