공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 6번

CLP-3 · 1.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

어떤 곡면이 다음을 만족하는 모든 점 $P=(x,y,z)$ 로 이루어져 있다. $P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리가 $P$ 에서 평면 $z+1=0$ 까지의 거리와 같다. 이 곡면의 방정식을 구하고, 그래프를 그린 다음 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

A certain surface consists of all points $P=(x,y,z)$ such that the distance from $P$ to the point $(0,0,1)$ is equal to the distance from $P$ to the plane $z+1=0$ . Find an equation for the surface, sketch and describe it verbally.

정답·풀이 보기

$P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리는 $\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$ 이다. $P$ 에서 주어진 평면까지의 거리는 $|z+1|$ 이다. 따라서 곡면의 방정식은

$x^2+y^2+(z-1)^2=(z+1)^2\text{ 또는 } x^2+y^2=4z$

이다. 이 곡면 위의 모든 점은 $z\ge 0$ 이다. 곡면 위의 점 중 $z$ 의 값이 고정된 값 $z_0\ge 0$ 인 점들의 집합은 $z$ 축 위에 중심이 있고, $xy$ 평면과 평행하며, 반지름이 $2\sqrt{z_0}$ 인 원이다. 이 곡면은 이러한 원들을 쌓아 놓은 모양으로, 원점의 한 점에서 시작하여 위로 갈수록 반지름이 증가한다. 이 곡면은 포물면이며 아래 그림과 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance from $P$ to the point $(0,0,1)$ is $\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$ . The distance from $P$ to the specified plane is $|z+1|$ . Hence the equation of the surface is

$x^2+y^2+(z-1)^2=(z+1)^2\text{ or } x^2+y^2=4z$

All points on this surface have $z\ge 0$ . The set of points on the surface that have any fixed value, $z_0\ge 0$ , of $z$ consists of a circle that is centred on the $z$ –axis, is parallel to the $xy$ -plane and has radius $2\sqrt{z_0}$ . The surface consists of a stack of these circles, starting with a point at the origin and with radius increasing vertically. The surface is a paraboloid and is sketched below.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 7번우리말 번역

$(3,-2,3)$ 으로부터의 거리가 $(3/2,1,0)$ 으로부터의 거리의 2배인 모든 점 $P$ 의 집합이 구임을 보이세요. 이 구의 중심과 반지름을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$(x,y,z)$ 를 $P$ 에 속하는 점이라 하자. $(x,y,z)$ 에서 $(3,-2,3)$ 까지의 거리와 $(3/2,1,0)$ 까지의 거리는 각각

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ 그리고 }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

이다. $P$ 에 속하려면 $(x,y,z)$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}&=2\sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2} \\ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=4(x-3/2)^2+4(y-1)^2+4z^2 \\ x^2-6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9&=4x^2-12x+9+4y^2-8y+4+4z^2 \\ 3x^2-6 x+3y^2-12y+3z^2+6z-9&=0 \\ x^2-2 x+y^2-4y+z^2+2z-3&=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2&=9 \end{aligned}$

이것은 $(1,2,-1)$ 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구이다.

이 문제로 이어서 풀기

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