공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 7번

CLP-3 · 1.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

$(3,-2,3)$ 으로부터의 거리가 $(3/2,1,0)$ 으로부터의 거리의 2배인 모든 점 $P$ 의 집합이 구임을 보이세요. 이 구의 중심과 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

Show that the set of all points $P$ that are twice as far from $(3,-2,3)$ as from $(3/2,1,0)$ is a sphere. Find its centre and radius.

정답·풀이 보기

$(x,y,z)$ 를 $P$ 에 속하는 점이라 하자. $(x,y,z)$ 에서 $(3,-2,3)$ 까지의 거리와 $(3/2,1,0)$ 까지의 거리는 각각

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ 그리고 }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

이다. $P$ 에 속하려면 $(x,y,z)$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}&=2\sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2} \\ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2&=4(x-3/2)^2+4(y-1)^2+4z^2 \\ x^2-6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9&=4x^2-12x+9+4y^2-8y+4+4z^2 \\ 3x^2-6 x+3y^2-12y+3z^2+6z-9&=0 \\ x^2-2 x+y^2-4y+z^2+2z-3&=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2&=9 \end{aligned}$

이것은 $(1,2,-1)$ 을 중심으로 하고 반지름이 3인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $(x,y,z)$ be a point in $P$ . The distances from $(x,y,z)$ to $(3,-2,3)$ and to $(3/2,1,0)$ are

$\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}\quad\text{ and }\quad \sqrt{(x-3/2)^2+(y-1)^2+z^2}$

respectively. To be in $P$ , $(x,y,z)$ must obey

This is a sphere of radius 3 centered on $(1,2,-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 4번우리말 번역

$A$ 를 점 $(2,1,3)$ 이라 하자.

(a) $A$ 에서 $xy$ 평면까지의 거리를 구하세요. (b) $A$ 에서 $xz$ 평면까지의 거리를 구하세요. (c) $A$ 에서 $x$ 축 위의 점 $(x,0,0)$ 까지의 거리를 구하세요. (d) $x$ 축 위의 점 중 $A$ 에 가장 가까운 점을 구하세요. (e) $A$ 에서 $x$ 축까지의 거리는 얼마인지 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 임의의 점의 $z$ 좌표는 그 점에서 $xy$ 평면까지의 부호 있는 거리이다. 따라서 $(2,1,3)$ 에서 $xy$ 평면까지의 거리는 $|3|=3$ 이다.

(b) 임의의 점의 $y$ 좌표는 그 점에서 $xz$ 평면까지의 부호 있는 거리이다. 따라서 $(2,1,3)$ 에서 $xz$ 평면까지의 거리는 $|1|=1$ 이다.

$\sqrt{(2-x)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 10}$

이다.

(d) $(x-2)^2\ge 0$ 이므로 거리 $\sqrt{(x-2)^2 + 10}$ 은 $x=2$ 일 때 최소이다. 다른 방법으로,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sqrt{(x-2)^2 + 10} =\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2 + 10}} =0 &\iff x=2 \end{aligned}$

이다. 따라서 $x$ 축 위의 점 중 $A$ 에 가장 가까운 점은 $(2,0,0)$ 이다.

(e) $(2,0,0)$ 이 $x$ 축 위의 점 중 $(2,1,3)$ 에 가장 가까운 점이므로, $A$ 에서 $x$ 축까지의 거리는

$\sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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