공간좌표 연습문제 — CLP-3 · 1.1절 · 8번

CLP-3 · 1.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y)$ 에서의 압력 $p(x,y)$ 는 0 이상이며 방정식 $x^2-2px+y^2=3p^2$ 으로 정해진다. 등압선 몇 개를 그래프로 그리세요. 등압선은 어떤 상수 $c\ge 0$ 에 대하여 방정식 $p(x,y)=c$ 로 나타내어지는 곡선이다.

영어 원문 보기

The pressure $p(x,y)$ at the point $(x,y)$ is at least zero and is determined by the equation $x^2-2px+y^2=3p^2$ . Sketch several isobars. An isobar is a curve with equation $p(x,y)=c$ for some constant $c\ge 0$ .

정답·풀이 보기

고정된 각 $c\ge 0$ 에 대하여 등압선 $p(x,y)=c$ 는 곡선 $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , 즉 $(x-c)^2+y^2=4c^2$ 이다. 이것은 중심이 $(c,0)$ 이고 반지름이 $2c$ 인 원이다. 다음은 $c=0,1,2,3$ 일 때의 등압선 $p(x,y)=c$ 를 그린 그래프이다.

원본 교재 풀이(영어)

For each fixed $c\ge 0$ , the isobar $p(x,y)=c$ is the curve $x^2-2cx+y^2=3c^2$ , or equivalently, $(x-c)^2+y^2=4c^2$ . This is a circle with centre $(c,0)$ and radius $2c$ . Here is a sketch of the isobars $p(x,y)=c$ with $c=0,1,2,3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.1절 · 6번우리말 번역

어떤 곡면이 다음을 만족하는 모든 점 $P=(x,y,z)$ 로 이루어져 있다. $P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리가 $P$ 에서 평면 $z+1=0$ 까지의 거리와 같다. 이 곡면의 방정식을 구하고, 그래프를 그린 다음 말로 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$P$ 에서 점 $(0,0,1)$ 까지의 거리는 $\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$ 이다. $P$ 에서 주어진 평면까지의 거리는 $|z+1|$ 이다. 따라서 곡면의 방정식은

$x^2+y^2+(z-1)^2=(z+1)^2\text{ 또는 } x^2+y^2=4z$

이다. 이 곡면 위의 모든 점은 $z\ge 0$ 이다. 곡면 위의 점 중 $z$ 의 값이 고정된 값 $z_0\ge 0$ 인 점들의 집합은 $z$ 축 위에 중심이 있고, $xy$ 평면과 평행하며, 반지름이 $2\sqrt{z_0}$ 인 원이다. 이 곡면은 이러한 원들을 쌓아 놓은 모양으로, 원점의 한 점에서 시작하여 위로 갈수록 반지름이 증가한다. 이 곡면은 포물면이며 아래 그림과 같다.

이 문제로 이어서 풀기

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