벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 9번

CLP-3 · 1.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

벡터 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행육면체의 부피가

$|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the volume of the parallelepiped determined by the vectors $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is

$|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

정답·풀이 보기

평행육면체의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이다. 밑면을 벡터 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행사변형으로 잡을 수 있다. 이 밑면의 넓이는 $|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 밑면에 수직이다.

$\mathbf{a}$ 와 밑면에 수직인 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하자. 평행육면체의 높이는 $|\mathbf{a}| |\cos\theta|$ 이다. 따라서

$\text{volume} = |\mathbf{a}|\, |\cos\theta|\, |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a parallelepiped is the area of its base time its height. We can choose the base to be the parallelogram determined by the vectors $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ . It has area $|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ . The vector $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ is perpendicular to the base.

Denote by $\theta$ the angle between $\mathbf{a}$ and the perpendicular $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ . The height of the parallelepiped is $|\mathbf{a}| |\cos\theta|$ . So

$\text{volume} = |\mathbf{a}|\, |\cos\theta|\, |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2장 복습 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식을 원기둥좌표와 구면좌표로 나타내세요.

$z={x}^{2}+{y}^{2}-1$

다 풀었으면 정답 확인

원기둥좌표: $z={r}^{2}-1$ , 구면좌표: $\cos \,\varphi =\rho \,{\sin }^{2}\varphi -\frac{1}{\rho }$

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