벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 16번

CLP-3 · 1.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

구의 지름 하나의 양 끝점이 $(2,1,4)$ 와 $(4,3,10)$ 일 때, 이 구의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of a sphere if one of its diameters has end points $(2,1,4)$ and $(4,3,10)$ .

정답·풀이 보기

구의 중심은 $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ 이다. 지름(즉 반지름의 2배)은 $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ 이다. 따라서 구의 반지름은 $\sqrt{11}$ 이고 구의 방정식은 다음과 같다.

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

원본 교재 풀이(영어)

The center of the sphere is $\tfrac{1}{2}\big\{(2,1,4)+(4,3,10)\big\}=(3,2,7)$ . The diameter (i.e. twice the radius) is $|(2,1,4)-(4,3,10)|=|(-2,-2,-6)|=2|(1,1,3)|=2\sqrt{11}$ . So the radius of the sphere is $\sqrt{11}$ and the equation of the sphere is

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=11$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 17번우리말 번역

벡터를 이용하여 삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분이 나머지 한 변과 평행하고 그 길이가 나머지 한 변의 길이의 절반임을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

삼각형의 꼭짓점을 $A$ , $B$ , $C$ 라 하고, $C$ 는 두 변이 만나는 꼭짓점이라 하자. 좌표계는 언제든지 $C$ 가 원점에 오도록 잡을 수 있다. $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{a}$ , $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{b}$ 라 하자.

그러면 $C$ 에서 $C$ 와 $A$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이고,
$C$ 에서 $C$ 와 $B$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 이므로,
두 중점을 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이다.

$A$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터는 $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ 이므로, 두 중점을 잇는 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반이다.

이 문제로 이어서 풀기

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