벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 17번

CLP-3 · 1.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

벡터를 이용하여 삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분이 나머지 한 변과 평행하고 그 길이가 나머지 한 변의 길이의 절반임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Use vectors to prove that the line joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half its length.

정답·풀이 보기

삼각형의 꼭짓점을 $A$ , $B$ , $C$ 라 하고, $C$ 는 두 변이 만나는 꼭짓점이라 하자. 좌표계는 언제든지 $C$ 가 원점에 오도록 잡을 수 있다. $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{a}$ , $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{b}$ 라 하자.

그러면 $C$ 에서 $C$ 와 $A$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이고,
$C$ 에서 $C$ 와 $B$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 이므로,
두 중점을 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이다.

$A$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터는 $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ 이므로, 두 중점을 잇는 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반이다.

원본 교재 풀이(영어)

Call the vertices of the triangle $A$ , $B$ and $C$ with $C$ being the vertex that joins the two sides. We can always choose our coordinate system so that $C$ is at the origin. Let $\mathbf{a}$ be the vector from $C$ to $A$ and $\mathbf{b}$ be the vector from $C$ to $B$ .

Then the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $A$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ and
the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $B$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ so that
the vector joining the two midpoints is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ .

As the vector from $A$ to $B$ is $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ , the line joining the midpoints is indeed parallel to the third side and half its length.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 7번우리말 번역

세 꼭짓점이 $(1,2,3),\ (4,0,5)$ , $(3,6,4)$ 인 삼각형은 직각을 가지고 있나요?

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$(1,2,3)$ 에서 $(4,0,5)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 3,-2,2\right>$ 이다. $(1,2,3)$ 에서 $(3,6,4)$ 로 향하는 벡터는 $\left< 2,4,1\right>$ 이다. 이 두 벡터의 내적은 $\left< 3,-2,2\right>\cdot\left< 2,4,1\right>=0$ 이므로 두 벡터는 수직이고, 따라서 이 삼각형은 직각을 가진다.

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