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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

u=−2ı^+5ȷ^\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}, v=αı^−2ȷ^\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}} 라 하자. 다음을 만족시키는 α\alpha 를 구하세요.

(a) u⊥v\mathbf{u}\perp\mathbf{v} (b) u∥v\mathbf{u} \| \mathbf{v} (c) u\mathbf{u} 와 v\mathbf{v} 가 이루는 각이 60∘60^\circ 이다.

영어 원문 보기

Let u=−2ı^+5ȷ^\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}} and v=αı^−2ȷ^\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}. Find α\alpha so that

(a) u⊥v\mathbf{u}\perp\mathbf{v} (b) u∥v\mathbf{u} \| \mathbf{v} (c) The angle between u\mathbf{u} and v\mathbf{v} is 60∘60^\circ.

정답·풀이 보기

(a) 0=u⋅v=−2α−100=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 이어야 하므로 α=−5\alpha =-5 이다.

(b) −2/α=5/(−2)-2/\alpha =5/(-2) 이어야 하므로 α=0.8\alpha =0.8 이다.

(c) u⋅v=−2α−10=∣u∣ ∣v∣ cos⁡60∘=29 α2+4 12\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2} 이어야 한다. 양변을 제곱하면

4α2+40α+100=294(α2+4)  ⟹  13α2−160α−284=0  ⟹  α=160±1602+4×13×28426≈13.88 또는 −1.574\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ 또는 }-1.574 \end{aligned}

이 두 α\alpha 값 모두 u⋅v<0\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0 이므로 조건을 만족시키는 α\alpha 는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We want 0=u⋅v=−2α−100=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 or α=−5\alpha =-5.

(b) We want −2/α=5/(−2)-2/\alpha =5/(-2) or α=0.8\alpha =0.8.

(c) We want u⋅v=−2α−10=∣u∣ ∣v∣ cos⁡60∘=29 α2+4 12\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}. Squaring both sides gives

4α2+40α+100=294(α2+4)  ⟹  13α2−160α−284=0  ⟹  α=160±1602+4×13×28426≈13.88 or −1.574\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ or }-1.574 \end{aligned}

Both of these α\alpha 's give u⋅v<0\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0 so no α\alpha works.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.1절 · 17번우리말 번역

a\text{a} 는 종점이 (−2,−4)(-2,-4) 인 위치벡터(표준 위치의 벡터)라 하고, b\text{b} 는 시점이 (1,2)(1,2) 이고 종점이 (−1,4)(-1,4) 인 벡터라 하자. 벡터 −3a+b−4i+j-3\text{a}+\text{b}-4\text{i}+\text{j} 의 크기를 구하세요.

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