벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 30번

CLP-3 · 1.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

단위 질량의 입자 $P$ 의 시각 $t$ 에서의 공간상 위치가 $\mathbf{r}(t)$ 일 때, 이 입자의 각운동량은 $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ 이다. 어떤 스칼라 함수 $\rho$ 에 대해 $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ 이면, $L$ 이 상수, 즉 시간에 따라 변하지 않음을 보이세요. 여기서 $'$ 은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 뜻한다.

영어 원문 보기

A particle $P$ of unit mass whose position in space at time $t$ is $\mathbf{r}(t)$ has angular momentum $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ . If $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ for a scalar function $\rho$ , show that $L$ is constant, i.e. does not change with time. Here $'$ denotes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ .

정답·풀이 보기

$L$ 의 도함수는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

이다. 평행한 두 벡터의 외적은 영벡터이므로 두 항이 모두 0이 된다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ 이고, $L(t)$ 는 $t$ 에 관계없이 일정하다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $L$ is

Both terms vanish because the cross product of any two parallel vectors is zero. So $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ and $L(t)$ is independent of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 26번우리말 번역

$\left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right>$ 을 계산하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right>\times\left< 4,5,6\right> &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&2&3 \\ 4&5&6\end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\,(2\times 6-3\times 5) -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,(1\times 6-3\times 4) +\hat{\mathbf{k}}\,(1\times 5-2\times 4) \\ &=-3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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