벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 31번

CLP-3 · 1.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the diagonals of a parallelogram bisect each other.

정답·풀이 보기

벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로 결정되는 평행사변형의 꼭짓점은 $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 이다. $t$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 는 $\mathbf{0}$ 에서 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. $s$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 는 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. 이 두 직선은 $s$ 와 $t$ 가 다음을 만족할 때 만난다.

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

즉

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

$\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 평행하지 않다고 가정하면(즉 평행사변형이 선분으로 퇴화하지 않았다면), 이는 $t+s-1=0$ 이고 $s-t=0$ 일 때에만 성립한다. 즉 $s=t=\tfrac{1}{2}$ 이다. 따라서 두 직선은 각각의 중점에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

The parallelogram determined by the vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ has vertices $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $t$ varies from $0$ to $1$ , $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ traverses the diagonal from $\mathbf{0}$ to $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $s$ varies from $0$ to $1$ , $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ traverses the diagonal from $\mathbf{a}$ to $\mathbf{b}$ . These two straight lines meet when $s$ and $t$ are such that

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

Assuming that $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are not parallel (i.e. the parallelogram has not degenerated to a line segment), this is the case only when $t+s-1=0$ and $s-t=0$ . That is, $s=t=\tfrac{1}{2}$ . So the two lines meet at their midpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 25번우리말 번역

$\mathbf{a}=\left< 1,2,3\right>$ , $\mathbf{b}=\left< 4,10,6\right>$ 이라 하자.

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분을 구하세요. (b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요. (c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\mathbf{a}$ 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 성분은 $\mathbf{b}\cdot\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} =\frac{1\times 4+2\times 10+3\times 6}{\sqrt{1+4+9}} =\text{$\frac{42}{\sqrt{14}}$}$ 이다.

(b) $\mathbf{a}$ 위로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 길이가 $42/\sqrt{14}$ 이고 방향이 $\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$ 인 벡터, 즉 $\frac{42}{14}\left< 1,2,3\right>=\left< 3,6,9\right>$ 이다.

(c) $\mathbf{a}$ 에 수직인 방향으로의 $\mathbf{b}$ 의 정사영은 $\mathbf{b}$ 에서 $\mathbf{a}$ 위로의 정사영을 뺀 벡터, 즉 $\left< 4,10,6\right>-\left< 3,6,9\right>=\left< 1,4,-3\right>$ 이다.

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