벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 32번

CLP-3 · 1.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

한 모서리의 길이가 $s$ 인 정육면체를 생각하세요. 정육면체 아래쪽의 네 꼭짓점을 차례로 $A, B, C, D$ 라 하고, 위쪽의 대응하는 네 꼭짓점을 $A', B', C', D'$ 이라 하세요.

(a) 사면체 $A'C'BD$ 의 모든 모서리의 길이가 같음을 보이세요. (b) $E$ 를 정육면체의 중심이라 할 때, $EA$ 와 $EC$ 가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a cube such that each side has length $s$ . Name, in order, the four vertices on the bottom of the cube $A, B, C, D$ and the corresponding four vertices on the top of the cube $A', B', C', D'$ .

(a) Show that all edges of the tetrahedron $A'C'BD$ have the same length. (b) Let $E$ be the center of the cube. Find the angle between $EA$ and $EC$ .

정답·풀이 보기

좌표축을 $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ 이고 $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ 가 되도록 잡을 수 있다.

(a) 그러면

$\begin{aligned} |A'C'|&=\big|\left< s,s,s\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,-s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< -s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |BD|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,0,0\right> \big| &&=\big|\left< -s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s \end{aligned}$

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ 이므로 $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ 이고 $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ 이다. $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

원본 교재 풀이(영어)

We may choose our coordinate axes so that $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ and $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ .

(a) Then

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ so that $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ and $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ . $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 24번우리말 번역

$\mathbf{u}=-2\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $\mathbf{v}=\alpha \hat{\boldsymbol{\imath}}-2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 라 하자. 다음을 만족시키는 $\alpha$ 를 구하세요.

(a) $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ (b) $\mathbf{u} \| \mathbf{v}$ (c) $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 이루는 각이 $60^\circ$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $0=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10$ 이어야 하므로 $\alpha =-5$ 이다.

(b) $-2/\alpha =5/(-2)$ 이어야 하므로 $\alpha =0.8$ 이다.

(c) $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\alpha -10 =|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\cos 60^\circ =\sqrt{29}\,\sqrt{\alpha ^2+4}\,\tfrac{1}{2}$ 이어야 한다. 양변을 제곱하면

$\begin{aligned} & & 4\alpha ^2+40\alpha +100&=\frac{29}{4}(\alpha ^2+4) \\ &\implies\quad & 13\alpha ^2-160\alpha -284&=0 \\ &\implies\quad & \alpha &=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\times13\times284}}{26} \approx 13.88\text{ 또는 }-1.574 \end{aligned}$

이 두 $\alpha$ 값 모두 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0$ 이므로 조건을 만족시키는 $\alpha$ 는 없다.

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