벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 39번

CLP-3 · 1.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

각기둥의 여섯 꼭짓점이 다음과 같다.

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) 면 중 세 개가 평행사변형임을 확인하세요. 이 면들은 직사각형인가요? (b) $AA'$ 의 길이를 구하세요. (c) 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 구하세요. (d) 이 각기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

A prism has the six vertices

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) Verify that three of the faces are parallelograms. Are they rectangular? (b) Find the length of $AA'$ . (c) Find the area of the triangle $ABC$ . (d) Find the volume of the prism.

정답·풀이 보기

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ 와 $BB'=\left< 4,0,1\right>$ 는 사각형 $AA'B'B$ 의 마주 보는 변이다. 두 변은 길이와 방향이 같다. $AB=\left< -1,3,0\right>$ 와 $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ 도 마찬가지이다. 따라서 $AA'B'B$ 는 평행사변형이다. $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ 이므로 $AA'B'B$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $AA'B'B$ 는 직사각형이 아니다.

마찬가지로 사각형 $ACC'A'$ 의 마주 보는 변은 $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ 이므로 $ACC'A'$ 의 이웃한 두 변은 수직이고, 따라서 $ACC'A'$ 는 직사각형이다.

마지막으로 사각형 $BCC'B'$ 의 마주 보는 변은 $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ 이므로 $BCC'B'$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $BCC'B'$ 는 직사각형이 아니다.

(b) $AA'$ 의 길이는 $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ 이다.

(c) 삼각형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱의 2분의 1이다. 즉, $|AB|$ 와 $|AC|\sin\theta$ 의 곱의 2분의 1이며, 여기서 $\theta$ 는 $AB$ 와 $AC$ 가 이루는 각이다. 이것은 바로 $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ 이다.

(d) 각기둥의 부피는 밑면 $ABC$ 의 넓이에 높이를 곱한 것이다. 높이는 $AA'$ 의 길이에 $AA'$ 와 $ABC$ 의 법선이 이루는 각의 코사인 값을 곱한 것이다. 이것은 $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ 과 같으며, 이는 $\left< 12,4,3\right>$ 의 길이( $ABC$ 의 넓이)와 $\left< 4,0,1\right>$ 의 길이( $AA'$ 의 길이)와 $\left< 12,4,3\right>$ 와 $\left< 4,0,1\right>$ 가 이루는 각( $ABC$ 의 법선과 $AA'$ 가 이루는 각)의 코사인 값을 모두 곱한 것의 2분의 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ and $BB'=\left< 4,0,1\right>$ are opposite sides of the quadrilateral $AA'B'B$ . They have the same length and direction. The same is true for $AB=\left< -1,3,0\right>$ and $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ . So $AA'B'B$ is a parallelogram. Because, $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ , the neighbouring edges of $AA'B'B$ are not perpendicular and so $AA'B'B$ is not a rectangle.

Similarly, the quadilateral $ACC'A'$ has opposing sides $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ , the neighbouring edges of $ACC'A'$ are perpendicular, so $ACC'A'$ is a rectangle.

Finally, the quadilateral $BCC'B'$ has opposing sides $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ , the neighbouring edges of $BCC'B'$ are not perpendicular, so $BCC'B'$ is not a rectangle.

(b) The length of $AA'$ is $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ .

(c) The area of a triangle is one half its base times its height. That is, one half times $|AB|$ times $|AC|\sin\theta$ , where $\theta$ is the angle between $AB$ and $AC$ . This is precisely $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ .

(d) The volume of the prism is the area of its base $ABC$ , times its height, which is the length of $AA'$ times the cosine of the angle between $AA'$ and the normal to $ABC$ . This coincides with $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ , which is one half times the length of $\left< 12,4,3\right>$ (the area of $ABC$ ) times the length of $\left< 4,0,1\right>$ (the length of $AA'$ ) times the cosine of the angle between $\left< 12,4,3\right>$ and $\left< 4,0,1\right>$ (the angle between the normal to $ABC$ and $AA'$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.2절 · 9번우리말 번역

벡터 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행육면체의 부피가

$|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

평행육면체의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱이다. 밑면을 벡터 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 로 정해지는 평행사변형으로 잡을 수 있다. 이 밑면의 넓이는 $|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 는 밑면에 수직이다.

$\mathbf{a}$ 와 밑면에 수직인 벡터 $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하자. 평행육면체의 높이는 $|\mathbf{a}| |\cos\theta|$ 이다. 따라서

$\text{volume} = |\mathbf{a}|\, |\cos\theta|\, |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| =|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

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