벡터의 연산 연습문제 — CLP-3 · 1.2절 · 40번

CLP-3 · 1.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

(3차원 피타고라스 정리) 공간에서 꼭짓점이 정확히 네 개인 입체를 사면체라고 한다. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 를 사면체의 네 면의 넓이라고 하자. 넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점에서 만나는 세 모서리가 서로 수직이라고 하자. $D^2=A^2+B^2+C^2$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

(Three dimensional Pythagorean Theorem) A solid body in space with exactly four vertices is called a tetrahedron. Let $A$ , $B$ , $C$ and $D$ be the areas of the four faces of a tetrahedron. Suppose that the three edges meeting at the vertex opposite the face of area $D$ are perpendicular to each other. Show that $D^2=A^2+B^2+C^2$ .

정답·풀이 보기

넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표축을 잡는다. 넓이가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점을 각각 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 나타내자. 그러면 넓이가 $A$ 인 면은 모서리 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 를 가지므로 $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 마찬가지로 $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ 이고 $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 이다. 넓이가 $D$ 인 면은 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 가 이루는 삼각형이므로

$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$

이다.

가정에 의해 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 는 모두 서로 수직이다. 따라서 벡터 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (이는 $\mathbf{a}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (이는 $\mathbf{b}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (이는 $\mathbf{c}$ 의 스칼라배이다)도 서로 수직이다. 그러므로 다음을 전개하면

$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$

교차항은 모두 0이 되어 다음이 남는다.

$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$

원본 교재 풀이(영어)

Choose our coordinate axes so that the vertex opposite the face of area $D$ is at the origin. Denote by $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ the vertices opposite the sides of area $A$ , $B$ and $C$ respectively. Then the face of area $A$ has edges $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ so that $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ . Similarly $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ and $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ . The face of area $D$ is the triangle spanned by $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ and $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ so that

By hypothesis, the vectors $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are all perpendicular to each other. Consequently the vectors $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (which is a scalar times $\mathbf{a}$ ), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (which is a scalar times $\mathbf{b}$ ) and $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (which is a scalar times $\mathbf{c}$ ) are also mutually perpendicular. So, when we multiply out

all the cross terms vanish, leaving

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.1절 · 49번우리말 번역

[계산기 사용] 수평 방향의 $45$ lb의 힘과 또 다른 $52$ lb의 힘, 두 힘이 같은 물체에 작용한다. 두 힘 사이의 각은 $25^\circ$ 이다. 이 물체에 작용하는 합력의 크기와 양의 x축으로부터 잰 방향각을 구하세요. (소수 둘째 자리까지 반올림하세요.)

이 그림에는 시점이 같은 두 벡터가 있다. 첫째 벡터에는 "52 lb", 둘째 벡터에는 "45 lb"라고 적혀 있다. 두 벡터 사이의 각은 25도이다.

다 풀었으면 정답 확인

합력의 크기는 $94.71$ lb이고, 방향각은 $13.42^\circ$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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