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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 구하세요.

(a) 점 (−1,2,3)(-1,2,3), 평면 x+y+z=7x+y+z=7 (b) 점 (1,−4,3)(1,-4,3), 평면 x−2y+z=5x-2y+z=5

영어 원문 보기

Find the distance from the given point to the given plane.

(a) point (−1,2,3)(-1,2,3), plane x+y+z=7x+y+z=7 (b) point (1,−4,3)(1,-4,3), plane x−2y+z=5x-2y+z=5

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 평면 위의 한 점은 (0,0,7)(0,0,7) 이다. (−1,2,3)(-1,2,3) 에서 (0,0,7)(0,0,7) 로 향하는 벡터는 <0,0,7>−<−1,2,3>=<1,−2,4>\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right> 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> 이다. (−1,2,3)(-1,2,3) 에서 평면까지의 거리는 <1,−2,4>\left< 1,-2,4\right> 를 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 13<1,1,1>⋅<1,−2,4>=33=3\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned} 이다.

(b) 평면 위의 한 점은 (0,0,5)(0,0,5) 이다. (1,−4,3)(1,-4,3) 에서 (0,0,5)(0,0,5) 로 향하는 벡터는 <0,0,5>−<1,−4,3>=<−1,4,2>\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right> 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> 이다. (1,−4,3)(1,-4,3) 에서 평면까지의 거리는 <−1,4,2>\left< -1,4,2\right> 를 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 다음 값의 절댓값이다.

16<1,−2,1>⋅<−1,4,2>=−76\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}

따라서 거리는 7/67/\sqrt{6} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) One point on the plane is (0,0,7)(0,0,7). The vector from (−1,2,3)(-1,2,3) to (0,0,7)(0,0,7) is <0,0,7>−<−1,2,3>=<1,−2,4>\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right> . A unit vector perpendicular to the plane is 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> . The distance from (−1,2,3)(-1,2,3) to the plane is the length of the projection of <1,−2,4>\left< 1,-2,4\right> on 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> which is 13<1,1,1>⋅<1,−2,4>=33=3\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned}

(b) One point on the plane is (0,0,5)(0,0,5). The vector from (1,−4,3)(1,-4,3) to (0,0,5)(0,0,5) is <0,0,5>−<1,−4,3>=<−1,4,2>\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right>. A unit vector perpendicular to the plane is 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> . The distance from (1,−4,3)(1,-4,3) to the plane is the length of the projection of <−1,4,2>\left< -1,4,2\right> on 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> which is the absolute value of

16<1,−2,1>⋅<−1,4,2>=−76\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}

or 7/67/\sqrt{6}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 20번우리말 번역

다음 구면을 생각하자. (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=2(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2 여러분이 SS 위의 점 (2,2,0)(2,2,0) 에 있고, SS 위에서 가장 짧은 경로를 따라 (2,1,−1)(2,1,-1) 로 가려고 한다고 하자. 처음 진행 방향을 외적으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

새로운 좌표계로 바꾸어 X=x−1Y=y−2Z=z+1X=x-1\qquad Y=y-2\qquad Z=z+1 이라 하자. 이 새로운 좌표계에서 구의 방정식은 X2+Y2+Z2=2X^2+Y^2+Z^2=2 이다. 따라서 구의 중심은 (X,Y,Z)=(0,0,0)(X,Y,Z)=(0,0,0) 이고 반지름은 2\sqrt{2} 이다. 새로운 좌표계에서 출발점 (x,y,z)=(2,2,0)(x,y,z)=(2,2,0) 은 (X,Y,Z)=(1,0,1)(X,Y,Z)=(1,0,1) 이고, 도착점 (x,y,z)=(2,1,−1)(x,y,z)=(2,1,-1) 은 (X,Y,Z)=(1,−1,0)(X,Y,Z)=(1,-1,0) 이다. 출발점을 PP, 도착점을 QQ 라 하자. 가장 짧은 경로는 PP 에서 QQ 까지 대원을 따라간다.

그림

구 위의 대원은 구의 중심을 포함하는 평면과 구가 만나서 생기는 도형이다. 처음 방향을 구하는 전략은 다음 두 가지 관찰에 바탕을 둔다.

  • 가장 짧은 경로는 원점과 두 점 PP, QQ 를 포함하는 평면 Π\Pi 위에 있다. 가장 짧은 경로가 Π\Pi 위에 있으므로 방향 벡터도 Π\Pi 위에 놓여야 하고, 따라서 Π\Pi 의 법선벡터와 수직이어야 한다.
  • 가장 짧은 경로는 구 위에도 머물러 있으므로, 처음 방향은 출발점 PP 에서 구의 법선벡터와도 수직이어야 한다.

처음 방향이 두 법선벡터에 모두 수직이므로, 두 법선벡터의 외적과 평행하다.

따라서 우리가 할 일은 평면 Π\Pi 의 법선벡터와 PP 에서 구의 법선벡터를 구하는 것이다.

  • Π\Pi 의 법선벡터를 구하는 한 가지 방법은 Π\Pi 의 방정식을 짐작해 보는 것이다. (0,0,0)(0,0,0) 이 Π\Pi 위에 있으므로 (0,0,0)(0,0,0) 은 Π\Pi 의 방정식을 만족해야 한다. 따라서 Π\Pi 의 방정식은 aX+bY+cZ=0aX+bY+cZ=0 꼴이어야 한다. (X,Y,Z)=(1,0,1)(X,Y,Z)=(1,0,1) 이 Π\Pi 위에 있으므로 a+c=0a+c=0 이다. (X,Y,Z)=(1,−1,0)(X,Y,Z)=(1,-1,0) 이 Π\Pi 위에 있으므로 a−b=0a-b=0 이다. 따라서 a=1a=1, b=1b=1, c=−1c=-1 로 잡을 수 있다. 즉 Π\Pi 는 X+Y−Z=0X+Y-Z=0 이다. (세 점 (0,0,0)(0,0,0), (1,0,1)(1,0,1), (1,−1,0)(1,-1,0) 이 모두 X+Y−Z=0X+Y-Z=0 을 만족하는지 확인하세요.) Π\Pi 의 법선벡터는 <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 이다.

  • Π\Pi 의 법선벡터를 구하는 두 번째 방법은 다음 두 가지를 관찰하는 것이다.

  • (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,0,1)(1,0,1) 로 가는 벡터, 즉 <1,0,1>\left< 1,0,1\right> 은 완전히 Π\Pi 안에 놓여 있고

  • (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,−1,0)(1,-1,0) 로 가는 벡터, 즉 <1,−1,0>\left< 1,-1,0\right> 도 완전히 Π\Pi 안에 놓여 있다.

따라서 벡터

<1,0,1>×<1,−1,0>=det⁡[ı^ȷ^k^1011−10]=ı^+ȷ^−k^\left< 1,0,1\right>\times\left< 1,-1,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}

는 Π\Pi 에 수직이다.

  • 구의 중심에서 구 위의 점 PP 로 가는 벡터는 PP 에서 구에 수직이다. 따라서 출발점 (X,Y,Z)=(1,0,1)(X,Y,Z)=(1,0,1) 에서 구의 법선벡터는 <1,0,1>\left< 1,0,1\right> 이다.

처음 방향(좌표 변환 X=x−1X=x-1, Y=y−2Y=y-2, Z=z+1Z=z+1 은 속도 벡터나 방향 벡터에 전혀 영향을 주지 않음에 주의하자. 시각 tt 에서의 위치가 원래 좌표계에서 (x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) 이면, 새로운 좌표계에서는 (X(t),Y(t),Z(t))=(x(t)−1,y(t)−2,z(t)+1)(X(t),Y(t),Z(t)) =(x(t)-1,y(t)-2,z(t)+1) 이다. 두 좌표계에서의 속도 벡터 <x′(t),y′(t),z′(t)>=<X′(t),Y′(t),Z′(t)>\left< x'(t),y'(t),z'(t)\right> =\left< X'(t),Y'(t),Z'(t)\right> 는 같다.) 은 <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 과 <1,0,1>\left< 1,0,1\right> 에 모두 수직이어야 하므로, ±<1,1,−1>×<1,0,1>\pm\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right> 중 하나이다. 가장 짧은 경로로 (1,0,1)(1,0,1) 에서 (1,−1,0)(1,-1,0) 으로 가려면 ZZ 좌표가 11 에서 00 으로 감소해야 한다. 따라서 처음 방향의 ZZ 좌표는 음수여야 한다. 이는 다음의 경우에 해당한다.

<1,1,−1>×<1,0,1>=det⁡[ı^ȷ^k^11−1101]=ı^−2 ȷ^−k^\left< 1,1,-1\right>\times\left< 1,0,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}

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