직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.5절 · 14번

CLP-3 · 1.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

(a) $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있는 $y$ 축 위의 점을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 과 직선 $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a point on the y-axis equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ . (b) Find the equation of the plane containing the point $(1, 3, 1)$ and the line $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ .

정답·풀이 보기

(a) $y$ 축 위의 점 $(0,y,0)$ 이 $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있을 필요충분조건은

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

이다.

(b) 두 점 $(1,3,1)$ 과 $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ 는 모두 평면 위에 있다. 따라서 두 점을 잇는 벡터 $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ 과 직선의 방향벡터 $\left< 1,1,1\right>$ 은 모두 평면과 평행하다. 그러므로

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

은 평면에 수직이다. 점 $(0,0,2)$ 가 평면 위에 있고 벡터 $\left< 4,-2,-2\right>$ 가 평면에 수직이므로, 평면의 방정식은

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ 또는 } 2x-y-z=-2$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The point $(0,y,0)$ , on the $y$ –axis, is equidistant from $(2, 5, -3)$ and $(-3, 6, 1)$ if and only if

(b) The points $(1,3,1)$ and $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ are both on the plane. Hence the vector $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ joining them, and the direction vector of the line, namely $\left< 1,1,1\right>$ are both parallel to the plane. So

is perpendicular to the plane. As the point $(0,0,2)$ is on the plane and the vector $\left< 4,-2,-2\right>$ is perpendicular to the plane, the equation of the plane is

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ or } 2x-y-z=-2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 16번우리말 번역

$P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 를 사면체의 꼭짓점이라 하자. 원점에서 $P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 까지의 벡터를 각각 $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 라 하자. 각 꼭짓점에서 그 마주 보는 면의 무게중심까지 직선을 그린다. 여기서 꼭짓점이 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 인 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. 이 네 직선이 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ) 에서 만남을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\mathbf{p}$ 의 맞은편 면은 꼭짓점이 $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 인 삼각형이다. 이 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선의 방향 벡터는 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선 위의 점은 어떤 실수 $t$ 에 대해 다음 꼴이다.

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 직선 위에 있다. 나머지 세 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 세 식의 우변도 각각 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 가 되므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 세 직선 위에도 각각 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류