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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0 이라 하자. 시각 tt 에서 곡선의 길이 s(ts(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0. Compute s(ts(t), the arclength of the curve at time tt.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

the length of the curve is

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 19번우리말 번역

0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b 이고 m>0m > 0 일 때, 곡선 r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) 의 길이를 구하세요. 결과를 mm, aa, bb 로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu du여기서 u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{여기서 } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

이다.

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# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류

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