빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항 때문에 느려지는 발사체의 위치가 다음을 만족한다. d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} 여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (힌트: u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하고, 주어진 미분방정식에 drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) 를 대입하여 u\mathbf{u} 에 대한 미분방정식을 구하세요.)

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} where α\alpha is a positive constant. If r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 and drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 at time t=0t=0, find r(t)\mathbf{r}(t). (Hint: Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) and substitute drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) into the given differential equation to find a differential equation for u\mathbf{u}.)

정답·풀이 보기

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

이 식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면 drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} 이 식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t). Then

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

Integrating both sides of this equation from t=0t=0 to t=Tt=T gives

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Substituting in u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) and multiplying through by e−αTe^{-\alpha T} drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} Integrating both sides of this equation from T=0T=0 to T=tT=t gives

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 17번우리말 번역

다음 곡선을 생각하세요.

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이를 구하세요.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
다 풀었으면 정답 확인

(a) r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

이므로 t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이는

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u du여기서 u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

이다.

(b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt절댓값 기호를 잊지 마세요!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 마세요!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

이다. 피적분함수가 t→π−tt\rightarrow\pi-t 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 2배, 즉 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류

「벡터함수의 미분과 적분」 문제 목록으로