벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-3 · 1.6절 · 29번

CLP-3 · 1.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

시각 $t$ (단위: 초 s)에서 입자의 위치가 다음과 같이 주어져 있다.

$\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) 입자의 경로가 원뿔 $z^2=x^2+y^2$ 위에 있음을 보이세요. (b) 시각 $t$ 에서의 속도 벡터와 속력을 구하세요. (c) 시각 $t=1$ s 에서 입자가 경로를 벗어나, 경로에 접하는 방향의 직선 $L$ 을 따라 날아간다고 하자. 직선 $L$ 의 방정식을 구하세요. (d) 입자가 직선 $L$ 을 따라 움직이기 시작한 후, 평면 $x=-1$ 에 부딪히기까지 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time $t$ (measured in seconds s) is given by

$\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Show that the path of the particle lies on the cone $z^2=x^2+y^2$ . (b) Find the velocity vector and the speed at time $t$ . (c) Suppose that at time $t=1$ s the particle flies off the path on a line $L$ in the direction tangent to the path. Find the equation of the line $L$ . (d) How long does it take for the particle to hit the plane $x=-1$ after it started moving along the straight line $L$ ?

정답·풀이 보기

(a) $x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{그리고}\qquad z(t)^2=t^2$

은 서로 같으므로, 입자의 경로는 원뿔 $z^2=x^2+y^2$ 위에 있다.

(b) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \text{속도}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{속력}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}$

(c) $t=1$ 일 때 입자는 $\mathbf{r}(1)=(0,1,1)$ 에 있고 속도는 $\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$ 이다. 따라서 $t\ge 1$ 일 때 입자의 위치는

$\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$

이다. 이것은 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이기도 하다.

(d) 입자가 $L$ 을 따라 날아가는 동안 속력이 일정하게 유지된다고 가정하자. 그러면 시각 $t$ ( $t\ge 1$ )에서 입자의 $x$ 좌표는 $-\frac{\pi}{2}(t-1)$ 이다. 이 값은 $t-1=\frac{2}{\pi}$ 일 때 $-1$ 이 된다. 따라서 입자는 원뿔을 벗어난 지 $\frac{2}{\pi}$ 초 후에 $x=-1$ 에 부딪힌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{and}\qquad z(t)^2=t^2$

are the same, the path of the particle lies on the cone $z^2=x^2+y^2$ .

(b) By definition,

$\begin{aligned} \text{velocity}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{speed}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}$

(c) At $t=1$ , the particle is at $\mathbf{r}(1)=(0,1,1)$ and has velocity $\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$ . So for $t\ge 1$ , the particle is at

$\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$

This is also a vector parametric equation for the line.

(d) Assume that the particle's speed remains constant as it flies along $L$ . Then the $x$ -coordinate of the particle at time $t$ (for $t\ge 1$ ) is $-\frac{\pi}{2}(t-1)$ . This takes the value $-1$ when $t-1=\frac{2}{\pi}$ . So the particle hits $x=-1$ , $\frac{2}{\pi}$ seconds after it flew off the cone.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 11번우리말 번역

위치가 $\mathbf{r}(t)$ 인 입자의 시각 $t$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요. 입자의 경로를 설명하세요. $a>0$ 이라 하세요.

(a) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}}$ (b) $\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

$(x,y)= a(\cos t,\sin t)$ 좌표는 반지름이 $a$ 이고 중심이 $(0,0)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. $t$ 가 $2\pi$ 증가할 때마다 원을 한 바퀴 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 일정한 비율로 증가한다. $(x,y)$ 좌표가 원을 한 바퀴 돌 때마다 $z$ 좌표는 $2 \pi c$ 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 $a$ 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 $2\pi c$ 만큼 올라가는 나선이다.

(b) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

다음과 같이 놓자.

$\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}$

그러면

$\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}$

이므로 $(x,y)$ 좌표는 반지름이 $\frac{a}{2}$ 이고 중심이 $\big(0,\frac{a}{2}\big)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 절반의 빠르기로 $1$ 과 $-1$ 사이의 구간에서 진동한다. 사실 이 곡선에 대해서는 더 말할 수 있다.

$\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}$

따라서 이 곡선은 원기둥 $x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4}$ 과 구 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 의 교선 위에 놓여 있다. ( $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$ 의 값을 구해 볼 생각을 하지 못했더라도 걱정하지 않아도 된다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술도전자동 분류