벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-3 · 1.6절 · 30번

CLP-3 · 1.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

(a) 곡선 $\mathbf{r}_1(t)=\left< 1+t, t^2, t^3\right>$ 과 $\mathbf{r}_2(t)=\left< \cos t, \sin t, t\right>$ 는 점 $P(1,0,0)$ 에서 만난다. 점 $P$ 에서 두 곡선이 만나는 각을 구하세요. (b) 평면 $x+y-z=4$ 와 $2x-z=4$ 의 교선과 직선 $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) The curve $\mathbf{r}_1(t)=\left< 1+t, t^2, t^3\right>$ and $\mathbf{r}_2(t)=\left< \cos t, \sin t, t\right>$ intersect at the point $P(1,0,0)$ . Find the angle of intersection between the curves at the point $P$ . (b) Find the distance between the line of intersection of the planes $x+y-z=4$ and $2x-z=4$ and the line $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 두 곡선의 접선벡터는 다음과 같다.

$\mathbf{r}'_1(t)=\left< 1, 2t, 3t^2\right>\qquad \mathbf{r}'_2(t)=\left<-\sin t, \cos t, 1\right>$

두 곡선은 모두 $t=0$ 일 때 $P$ 를 지나므로 이때의 접선벡터는 다음과 같다.

$\mathbf{r}'_1(0)=\left< 1, 0, 0\right>\qquad \mathbf{r}'_2(0)=\left< 0, 1, 1\right>$

따라서 두 곡선이 만나는 각 $\theta$ 는 다음 식으로 정해진다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}'_1(0)\cdot\mathbf{r}'_2(0)=|\mathbf{r}'_1(0)|\,|\mathbf{r}'_2(0)|\,\cos\theta &\implies \left< 1, 0, 0\right>\cdot\left< 0, 1, 1\right>=1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta \\ &\implies\cos\theta=0\implies \theta=90^\circ \end{aligned}$

(b) 풀이 전략은 다음과 같다.

시점이 한 직선 위에 있고 종점이 다른 직선 위에 있는 벡터 $\mathbf{v}$ 를 구한다.
두 직선에 모두 수직인 벡터 $\mathbf{n}$ 을 구한다.
그러면 $\mathbf{v}$ 와 $\mathbf{n}$ 사이의 각을 $\theta$ 라 할 때, 두 직선 사이의 거리는 $|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$ 이다.

이제 풀어 보자.

먼저 $\mathbf{v}$ 를 구한다.
직선 $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ 위의 한 점은 $\mathbf{r}(0)=\left< 0,-1,1\right>$ 이다.
$(x,y,z)$ 가 다른 직선 위에 있을 필요충분조건은 $x+y-z=4$ 이고 $2x-z=4$ 인 것이다. 특히 $z=0$ 이면 $x+y=4$ 이고 $2x=4$ 이므로 $x=2$ , $y=2$ 이다.
따라서 벡터 $\mathbf{v}=\left< 2-0\,,\,2-(-1)\,,\,0-1\right>=\left< 2,3,-1\right>$ 은 종점이 한 직선 위에 있고 시점이 다른 직선 위에 있다.
다음으로 두 직선에 모두 수직인 벡터 $\mathbf{n}$ 을 구한다.
먼저 직선 $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ 의 방향벡터를 구한다. $x=y=2$ , $z=0$ 이 이 직선 위의 점임은 이미 알고 있다. 이 직선 위의 두 번째 점은, 예를 들어 $z=2$ 로 놓고 $x+y=6$ , $2x=6$ 을 풀면 $x=3$ , $y=3$ 으로 구할 수 있다. 따라서 직선 $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ 의 방향벡터 하나는 $\mathbf{d}_1=\left<3-2\,,\,3-2\,,\,2-0 \right> = \left< 1,1,2\right>$ 이다.
직선 $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ 의 방향벡터를 구하는 두 번째 방법은 다음과 같다. $\left< 1,1,-1\right>$ 은 $x+y-z=4$ 의 법선벡터이므로 이 직선에 수직이고, $\left< 2,0,-1\right>$ 은 $2x-z=4$ 의 법선벡터이므로 역시 이 직선에 수직이다. 따라서 $\left< 1,1,-1\right>\times\left< 2,0,-1\right>$ 이 이 직선의 방향벡터이다.
직선 $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ 의 방향벡터는 $\mathbf{d}_2=\mathbf{r}'(t)=\left< 1,2,3\right>$ 이다.
그러므로

$\mathbf{n}=\mathbf{d}_2\times\mathbf{d}_1 =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right] = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}$

은 두 직선에 모두 수직이다.

따라서 두 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

$|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} =\frac{\left< 2,3,-1\right> \cdot\left< 1,1,-1\right>}{|\left< 1,1,-1\right>|} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The tangent vectors to the two curves are

$\mathbf{r}'_1(t)=\left< 1, 2t, 3t^2\right>\qquad \mathbf{r}'_2(t)=\left<-\sin t, \cos t, 1\right>$

Both curves pass through $P$ at $t=0$ and then the tangent vectors are

$\mathbf{r}'_1(0)=\left< 1, 0, 0\right>\qquad \mathbf{r}'_2(0)=\left< 0, 1, 1\right>$

So the angle of intersection, $\theta$ , is determined by

(b) Our strategy will be to

find a vector $\mathbf{v}$ whose tail is on one line and whose head is on the other line and then
find a vector $\mathbf{n}$ that is perpendicular to both lines.
Then, if we denote by $\theta$ the angle between $\mathbf{v}$ and $\mathbf{n}$ , the distance between the two lines is $|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$

Here we go

So the first step is to find a $\mathbf{v}$ .
One point on the line $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ is $\mathbf{r}(0)=\left< 0,-1,1\right>$ .
$(x,y,z)$ is on the other line if and only if $x+y-z=4$ and $2x-z=4$ . In particular, if $z=0$ then $x+y=4$ and $2x=4$ so that $x=2$ and $y=2$ .
So the vector $\mathbf{v}=\left< 2-0\,,\,2-(-1)\,,\,0-1\right>=\left< 2,3,-1\right>$ has its head on one line and its tail on the other line.
Next we find a vector $\mathbf{n}$ that is perpendicular to both lines.
First we find a direction vector for the line $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ . We already know that $x=y=2$ , $z=0$ is on that line. We can find a second point on that line by choosing, for example, $z=2$ and then solving $x+y=6$ , $2x=6$ to get $x=3$ , $y=3$ . So one direction vector for the line $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ is $\mathbf{d}_1=\left<3-2\,,\,3-2\,,\,2-0 \right> = \left< 1,1,2\right>$ .
A second way to get a direction vector for the line $x+y-z=4$ , $2x-z=4$ is to observe that $\left< 1,1,-1\right>$ is normal to $x+y-z=4$ and so is perpendicular to the line and $\left< 2,0,-1\right>$ is normal to $2x-z=4$ and so is also perpendicular to the line. So $\left< 1,1,-1\right>\times\left< 2,0,-1\right>$ is a direction vector for the line.
A direction vector for the line $\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>$ is $\mathbf{d}_2=\mathbf{r}'(t)=\left< 1,2,3\right>$ .
So

is perpendicular to both lines.

The distance between the two lines is then

$|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} =\frac{\left< 2,3,-1\right> \cdot\left< 1,1,-1\right>}{|\left< 1,1,-1\right>|} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 23번우리말 번역

입자가 곡면 $z^2=12y$ 와 $18x=yz$ 의 교선 $\mathcal{C}$ 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때 속도 $\mathbf{v}$ 와 가속도 $\mathbf{a}$ 는 다음과 같다. $\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) $u=\frac{z}{6}$ 를 매개변수로 사용하여 $\mathcal{C}$ 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) $(0,0,0)$ 에서 $(1,3,6)$ 까지 $\mathcal{C}$ 의 길이를 구하세요. (c) $u=u(t)$ 가 시각 $t$ 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 를 구하세요. (d) 입자가 $(1,3,6)$ 에 있을 때의 $\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $z=6u$ , $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$ , $x=\frac{yz}{18}=u^3$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$

$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ 특히 입자가 시각 $t_1$ 에 $(1,3,6)$ 에 있으면 $u(t_1)=1$ 이고 $6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ 이다.

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히

$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$

간단히 하면 $3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분계산도전자동 분류