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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

이차곡면과 곡면 그리기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 방정식과 식을 알맞은 그림과 짝지으세요. 직교좌표는 (x,y,z)(x, y, z), 원기둥좌표는 (r,θ,z)(r, \theta, z), 구면좌표는 (ρ,θ,φ)(\rho, \theta, \varphi) 입니다.

(A) 그림

(B) 그림

(C) 그림

(D) 그림

(E) 그림

(F) 그림

(a)φ=π/3(b)r=2cos⁡θ(c)x2+y2=z2+1(d)y=x2+z2(e)ρ=2cos⁡φ(f)z=x4+y4−4xy\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& \varphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1 \\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\varphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{aligned}

영어 원문 보기

Match the following equations and expressions with the corresponding pictures. Cartesian coordinates are (x,y,z)(x, y, z), cylindrical coordinates are (r,θ,z)(r, \theta, z), and spherical coordinates are (ρ,θ,φ)(\rho, \theta, \varphi).

(A) figure

(B) figure

(C) figure

(D) figure

(E) figure

(F) figure

(a)φ=π/3(b)r=2cos⁡θ(c)x2+y2=z2+1(d)y=x2+z2(e)ρ=2cos⁡φ(f)z=x4+y4−4xy\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& \varphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1 \\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\varphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{aligned}

정답·풀이 보기

(a) φ=π3\varphi =\frac{\pi}{3} 는 (구면좌표) φ\varphi 가 상수인 곡면이다. 따라서 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔이다. 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2} 이므로 z≥0z\ge 0 이고, 다음과 같이 φ=π3\varphi=\frac{\pi}{3} 를 직교좌표로 나타낼 수 있다.

φ=π3  ⟺  tan⁡φ=32  ⟺  ρsin⁡φ=32ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2=32z\begin{aligned} \varphi=\frac{\pi}{3} \iff \tan\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \iff \rho\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cos\varphi \iff \sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} z \end{aligned}

따라서 (a)에 해당하는 그림은 (C)이다.

(b) rr 와 θ\theta 는 원기둥좌표이므로

r=2cos⁡θ  ⟺  r2=2rcos⁡θ  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos\theta \iff r^2=2 r\cos\theta \iff x^2+y^2 = 2x \iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

(x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 에는 zz 가 나타나지 않는다. 따라서 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 의 zz 가 상수인 모든 단면은 직선 x=1x=1, y=0y=0 위에 중심이 있고 반지름이 11 인 (수평) 원이다. 이는 직선 x=1x=1, y=0y=0 을 중심축으로 하고 반지름이 11 인 원기둥이다. 따라서 (b)에 해당하는 그림은 (F)이다.

(c) x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 의 zz 가 상수인 각 단면은 zz 축 위에 중심이 있는 (수평) 원이다. 이 원의 반지름은 z=0z=0 일 때 11 이고, zz 가 z=0z=0 에서 멀어질수록 커진다. 따라서 x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 은 (수평) 원들이 차곡차곡 쌓인 모양이고, 반지름은 ∣z∣|z| 에 따라 증가한다. 이는 일엽쌍곡면이다. (c)에 해당하는 그림은 (D)이다.

(d) y=x2+z2y=x^2+z^2 의 모든 점은 y≥0y\ge 0 이다. 이 성질을 가진 것은 (B)뿐이다. 또한 yy 가 상수인 각 단면은 x=z=0x=z=0 에 중심이 있는 원임을 알 수 있다. 이 원의 반지름은 y=0y=0 일 때 00 이고, yy 가 커질수록 증가한다. 곡면 y=x2+z2y=x^2+z^2 은 포물면이다. (d)에 해당하는 그림은 (B)이다.

(e) ρ\rho 와 φ\varphi 는 구면좌표이므로

ρ=2cos⁡φ  ⟺  ρ2=2ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2+z2=2z  ⟺  x2+y2+(z−1)2=1\begin{aligned} \rho=2\cos\varphi \iff \rho^2=2\rho\cos\varphi \iff x^2+y^2+z^2=2z \iff x^2+y^2 + (z-1)^2=1 \end{aligned}

이는 (0,0,1)(0,0,1) 을 중심으로 하고 반지름이 11 인 구이다. (e)에 해당하는 그림은 (A)이다.

(f) 남은 가능성은 하나뿐이므로 (f)에 해당하는 그림은 (E)이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) φ=π3\varphi =\frac{\pi}{3} is a surface of constant (spherical coordinate) φ\varphi. So it is a cone with vertex at the origin. We can express φ=π3\varphi=\frac{\pi}{3} in cartesian coordinates by observing that 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2} so that z≥0z\ge 0, and

φ=π3  ⟺  tan⁡φ=32  ⟺  ρsin⁡φ=32ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2=32z\begin{aligned} \varphi=\frac{\pi}{3} \iff \tan\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \iff \rho\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cos\varphi \iff \sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} z \end{aligned}

So the picture that corresponds to (a) is (C).

(b) As rr and θ\theta are cylindrical coordinates

r=2cos⁡θ  ⟺  r2=2rcos⁡θ  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos\theta \iff r^2=2 r\cos\theta \iff x^2+y^2 = 2x \iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

There is no zz appearing in (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1. So every constant zz cross–section of (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 is a (horizontal) circle of radius 11 centred on the line x=1x=1, y=0y=0. It is a cylinder of radius 11 centred on the line x=1x=1, y=0y=0. So the picture that corresponds to (b) is (F).

(c) Each constant zz cross–section of x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 is a (horizontal) circle centred on the zz–axis. The radius of the circle is 11 when z=0z=0 and grows as zz moves away from z=0z=0. So x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 consists of a bunch of (horizontal) circles stacked on top of each other, with the radius increasing with ∣z∣|z|. It is a hyperboloid of one sheet. The picture that corresponds to (c) is (D).

(d) Every point of y=x2+z2y=x^2+z^2 has y≥0y\ge 0. Only (B) has that property. We can also observe that every constant yy cross–section is a circle centred on x=z=0x=z=0. The radius of the circle is zero when y=0y=0 and increases as yy increases. The surface y=x2+z2y=x^2+z^2 is a paraboloid. The picture that corresponds to (d) is (B).

(e) As ρ\rho and φ\varphi are spherical coordinates

ρ=2cos⁡φ  ⟺  ρ2=2ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2+z2=2z  ⟺  x2+y2+(z−1)2=1\begin{aligned} \rho=2\cos\varphi \iff \rho^2=2\rho\cos\varphi \iff x^2+y^2+z^2=2z \iff x^2+y^2 + (z-1)^2=1 \end{aligned}

This is the sphere of radius 11 centred on (0,0,1)(0,0,1). The picture that corresponds to (e) is (A).

(f) The only possibility left is that the picture that corresponds to (f) is (E).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 2번우리말 번역

아래 (a), (b) 각각에는 어떤 함수 f(x,y)f(x,y) 의 등위곡선 몇 개 중 제1사분면 부분을 그린 스케치가 주어져 있다. 이에 대응하는 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 제1팔분공간 부분을 그리세요.

(a) 그림

(b) 그림

다 풀었으면 정답 확인

아래 각 풀이는 세 개의 스케치로 이루어진다.

  • 첫 번째 스케치에서는 주어진 등위곡선을 그대로 다시 그리되, zz축 위 높은 곳에서 xyxy평면을 내려다보는 것처럼 보이도록 xx축과 yy축의 방향을 고쳐 그린다.
  • 두 번째 스케치에서는 각 등위곡선 f(x,y)=Cf(x,y)=C 를 위로 들어 올려 수평면 z=Cz=C 위에 그린다. 즉 다음 집합을 그린다.

{ (x,y,z) ∣ f(x,y)=C, z=C, x≥0,y≥0 }={ (x,y,z) ∣ z=f(x,y), z=C, x≥0,y≥0 }\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \end{aligned}

  • 마지막으로 세 번째 스케치에서는 “두 번째 스케치의 빈틈을 메워서” 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 제1팔분공간 부분을 그린다.

(a)

그림

그림

그림

(b)

그림

그림

그림

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