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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

이차곡면과 곡면 그리기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

아래 (a), (b) 각각에는 어떤 함수 f(x,y)f(x,y) 의 등위곡선 몇 개 중 제1사분면 부분을 그린 스케치가 주어져 있다. 이에 대응하는 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 제1팔분공간 부분을 그리세요.

(a) 그림

(b) 그림

영어 원문 보기

In each of (a) and (b) below, you are provided with a sketch of the first quadrant parts of a few level curves of some function f(x,y)f(x,y). Sketch the first octant part of the corresponding graph z=f(x,y)z=f(x,y).

(a) figure

(b) figure

정답·풀이 보기

아래 각 풀이는 세 개의 스케치로 이루어진다.

  • 첫 번째 스케치에서는 주어진 등위곡선을 그대로 다시 그리되, zz축 위 높은 곳에서 xyxy평면을 내려다보는 것처럼 보이도록 xx축과 yy축의 방향을 고쳐 그린다.
  • 두 번째 스케치에서는 각 등위곡선 f(x,y)=Cf(x,y)=C 를 위로 들어 올려 수평면 z=Cz=C 위에 그린다. 즉 다음 집합을 그린다.

{ (x,y,z) ∣ f(x,y)=C, z=C, x≥0,y≥0 }={ (x,y,z) ∣ z=f(x,y), z=C, x≥0,y≥0 }\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \end{aligned}

  • 마지막으로 세 번째 스케치에서는 “두 번째 스케치의 빈틈을 메워서” 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 제1팔분공간 부분을 그린다.

(a)

그림

그림

그림

(b)

그림

그림

그림

원본 교재 풀이(영어)

Each solution below consists of three sketchs.

  • In the first sketch, we just redraw the given level curves with the xx- and yy-axes reoriented so that the sketch looks like we are high on the zz-axis looking down at the xyxy-plane.
  • In the second sketch, we lift up each level curve f(x,y)=Cf(x,y)=C and draw it in the horizontal plane z=Cz=C. That is we draw

{ (x,y,z) ∣ f(x,y)=C, z=C, x≥0,y≥0 }={ (x,y,z) ∣ z=f(x,y), z=C, x≥0,y≥0 }\begin{aligned} &\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C,\ x\ge 0, y\ge 0\ \big\} \end{aligned}

  • Finally, in the third sketch, we draw the part of graph z=f(x,y)z=f(x,y) in the first octant, just by “filling in the gaps in the second sketch”.

(a)

figure

figure

figure

(b)

figure

figure

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 3번우리말 번역

아래에 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 가 스케치되어 있는 함수 f(x,y)f(x,y) 의 등위곡선을 몇 개 그리세요.

그림

다 풀었으면 정답 확인

먼저 그래프의 스케치에 C=3C=3, 22, 11, 0.50.5, 0.250.25 에 대한 수평면 z=Cz=C 를 덧붙인다.

그림

복잡해 보이지 않도록, 각 CC 에 대해 다음 두 가지만 그려 넣었다.

  • 수평면 z=Cz=C 와 yzyz평면, 즉 수직 평면 x=0x=0 의 교선(회색)
  • 수평면 z=Cz=C 와 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 교선(파란색)

평면 z=0.25z=0.25 의 이름표는 생략했다.

평면 z=Cz=C 와 그래프 z=f(x,y)z=f(x,y) 의 교선은 직선

{ (x,y,z) ∣ z=f(x,y), z=C }={ (x,y,z) ∣ f(x,y)=C, z=C }\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=f(x,y),\ z=C\ \big\} = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y)=C,\ z=C\ \big\}

이다. (xx축에 평행한) 이 직선을 평면 z=Cz=C 가 아니라 xyxy평면에 그리면 등위곡선이 된다. C=3C=3, 22, 11, 0.50.5, 0.250.25 각각에 대해 이렇게 하면 다섯 개의 등위곡선을 얻는다.

그림

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